Formule des intérêts composés — explication de A = P(1 + r/n)^nt

La formule des intérêts composés donne le montant final après qu’un solde a augmenté à un taux annuel fixe et que les intérêts sont ajoutés à intervalles réguliers :

$$A = P\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}$$

Ici, $P$ est le capital initial, $r$ est le taux d’intérêt annuel écrit sous forme décimale, $n$ est le nombre de périodes de capitalisation par an, et $t$ est le temps en années. Le résultat $A$ est le montant total après intérêts. Si vous voulez seulement les intérêts, soustrayez le capital initial : $A - P$.

Utilisez cette formule seulement lorsque le taux annuel reste fixe, que le calendrier de capitalisation est connu et qu’il n’y a ni dépôts ni retraits supplémentaires pendant la période. Si l’une de ces conditions change, cette formule exacte ne décrit plus à elle seule toute la situation.

Ce que signifie $A = P(1 + r/n)^{nt}$

L’expression

$$1 + \frac{r}{n}$$

est le facteur de croissance pour une période de capitalisation. Si le taux annuel est de $8\%$ et que la capitalisation est trimestrielle, alors chaque trimestre multiplie le solde par

$$1 + \frac{0.08}{4} = 1.02$$

L’exposant $nt$ indique combien de fois cette croissance se produit. Pour $2$ ans avec une capitalisation trimestrielle, le solde est multiplié $4 \cdot 2 = 8$ fois.

C’est l’idée essentielle des intérêts composés : le solde continue d’être multiplié par le même facteur d’une période à l’autre, donc les intérêts futurs sont aussi calculés sur les intérêts passés.

Signification de chaque variable

$P$ est le capital initial, c’est-à-dire la somme de départ.

$r$ est le taux d’intérêt annuel sous forme décimale. Par exemple, $8\% = 0.08$.

$n$ est le nombre de fois où les intérêts sont capitalisés chaque année. Les cas courants sont $n = 1$ pour une capitalisation annuelle, $n = 2$ pour une capitalisation semestrielle, $n = 4$ pour une capitalisation trimestrielle et $n = 12$ pour une capitalisation mensuelle.

$t$ est le temps en années. Si le taux est annuel, alors $18$ mois doivent s’écrire $1.5$ année.

Exemple de formule des intérêts composés

Supposons que $5{,}000$ soient investis à un taux annuel de $8\%$ pendant $2$ ans, avec une capitalisation trimestrielle.

Commencez par les données :

$$P = 5000,\quad r = 0.08,\quad n = 4,\quad t = 2$$

Remplacez dans la formule :

$$A = 5000\left(1 + \frac{0.08}{4}\right)^{4 \cdot 2}$$

Simplifiez le facteur de croissance par période et l’exposant :

$$A = 5000(1.02)^8$$

Calculez ensuite :

$$A \approx 5858.30$$

Le montant final est donc d’environ $5{,}858.30$.

Si la question demande uniquement les intérêts composés, soustrayez le capital initial :

$$A - P \approx 5858.30 - 5000 = 858.30$$

Les intérêts composés gagnés sont donc d’environ $858.30$.

Cet exemple montre aussi pourquoi la fréquence de capitalisation est importante. Avec le même capital initial, le même taux et la même durée, mais avec une capitalisation annuelle, le montant serait $5000(1.08)^2 = 5832$, ce qui est légèrement plus faible.

Erreurs courantes avec la formule des intérêts composés

Laisser le taux en pourcentage

Dans la formule, $r$ doit être un nombre décimal. Donc $8\%$ devient $0.08$, et non $8$.

Confondre montant total et intérêts

La formule donne $A$, le montant final. Si l’exercice demande uniquement les intérêts composés, vous devez encore soustraire $P$.

Utiliser la mauvaise fréquence de capitalisation

Une capitalisation mensuelle, trimestrielle ou annuelle ne donne pas le même résultat. C’est l’énoncé du problème qui détermine $n$.

Oublier la condition sur le temps

Si $r$ est un taux annuel, alors $t$ doit être mesuré en années. Une incohérence ici change la réponse.

Utiliser la formule alors que la situation comporte des flux d’argent supplémentaires

Si de l’argent est ajouté chaque mois ou si le taux change en cours de route, une seule utilisation de $A = P(1 + r/n)^{nt}$ ne suffit pas.

Quand utilise-t-on la formule des intérêts composés ?

On rencontre la formule des intérêts composés dans les comptes d’épargne, les certificats de dépôt, les exemples de croissance d’investissement et les exercices de finance en classe. La même structure apparaît aussi dans toute situation où une quantité augmente du même pourcentage sur des intervalles de temps égaux.

La condition est importante : il s’agit d’un modèle de croissance répétée à taux fixe. Il est utile parce qu’il est simple, mais cette simplicité dépend du respect des hypothèses.

Intérêts composés vs intérêts simples

Les intérêts simples augmentent uniquement à partir du capital initial. Les intérêts composés augmentent à partir du solde mis à jour.

C’est pourquoi les intérêts simples utilisent un modèle linéaire comme $A = P(1 + rt)$, tandis que les intérêts composés utilisent un exposant. Si les intérêts sont réajoutés au solde après chaque période, le modèle exponentiel est le bon.

Essayez un problème similaire

Gardez $P = 5000$, $r = 0.08$ et $t = 2$, mais remplacez la capitalisation trimestrielle par une capitalisation mensuelle. Comparez ensuite le nouveau montant avec le résultat trimestriel ci-dessus. Si vous voulez tester plusieurs versions après avoir vous-même mis la formule en place, un calculateur d’intérêts composés peut vous aider à les comparer rapidement.