Bileşik Faiz Formülü — A = P(1 + r/n)^nt Açıklaması

Bileşik faiz formülü, bir bakiyenin sabit bir yıllık oranla büyüyüp faizin düzenli aralıklarla eklendiği durumda son tutarı verir:

$$A = P\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}$$

Burada $P$ başlangıç anaparasıdır, $r$ ondalık biçimde yazılmış yıllık faiz oranıdır, $n$ yıldaki bileşikleşme dönemi sayısıdır ve $t$ yıl cinsinden süredir. Sonuç olan $A$, faiz eklendikten sonraki toplam tutardır. Yalnızca faizi istiyorsanız anaparayı çıkarın: $A - P$.

Bu formülü yalnızca yıllık oran sabit kaldığında, bileşikleşme düzeni bilindiğinde ve süre boyunca ek para yatırma ya da çekme olmadığında kullanın. Bu koşullardan biri değişirse, bu tam formül tek başına durumu artık bütünüyle açıklamaz.

$A = P(1 + r/n)^{nt}$ Ne Anlama Gelir

İfade

$$1 + \frac{r}{n}$$

bir bileşikleşme dönemi için büyüme çarpanıdır. Yıllık oran $8\%$ ve bileşikleşme üç aylıksa, her çeyrek dönem bakiyeyi şu çarpanla büyütür:

$$1 + \frac{0.08}{4} = 1.02$$

Üs olan $nt$, bu büyümenin kaç kez gerçekleştiğini gösterir. $2$ yıl boyunca üç aylık bileşikleşmede bakiye $4 \cdot 2 = 8$ kez çarpılır.

Bileşik faizin temel fikri budur: bakiye her dönemde aynı çarpanla büyümeye devam eder, bu yüzden sonraki faiz önceki faiz üzerinden de kazanılır.

Her Değişkenin Anlamı

$P$ anaparadır, yani başlangıçtaki para miktarıdır.

$r$ ondalık biçimde yazılan yıllık faiz oranıdır. Örneğin, $8\% = 0.08$.

$n$ faizin yılda kaç kez bileşikleştiğini gösterir. Yaygın durumlar; yıllık için $n = 1$, altı aylık için $n = 2$, üç aylık için $n = 4$ ve aylık bileşikleşme için $n = 12$ değerleridir.

$t$ yıl cinsinden süredir. Oran yıllıksa, $18$ ay $1.5$ yıl olarak yazılmalıdır.

Bileşik Faiz Formülü Örneği

$5{,}000$ liranın yıllık $8\%$ faizle, üç aylık bileşikleşme ile $2$ yıl boyunca yatırıldığını varsayalım.

Girdilerle başlayın:

$$P = 5000,\quad r = 0.08,\quad n = 4,\quad t = 2$$

Formülde yerine koyun:

$$A = 5000\left(1 + \frac{0.08}{4}\right)^{4 \cdot 2}$$

Dönemsel büyümeyi ve üssü sadeleştirin:

$$A = 5000(1.02)^8$$

Şimdi hesaplayın:

$$A \approx 5858.30$$

Buna göre son tutar yaklaşık $5{,}858.30$ olur.

Soru yalnızca bileşik faizi istiyorsa anaparayı çıkarın:

$$A - P \approx 5858.30 - 5000 = 858.30$$

Yani kazanılan bileşik faiz yaklaşık $858.30$ olur.

Bu örnek ayrıca bileşikleşme sıklığının neden önemli olduğunu da gösterir. Aynı anapara, oran ve süre için ama yıllık bileşikleşmede tutar $5000(1.08)^2 = 5832$ olurdu; bu da biraz daha küçüktür.

Bileşik Faiz Formülünde Yaygın Hatalar

Oranı Yüzde Olarak Bırakmak

Formülde $r$ ondalık sayı olmalıdır. Bu yüzden $8\%$, $8$ değil $0.08$ olur.

Tutar ile Faizi Karıştırmak

Formül son tutar olan $A$ değerini verir. Problem yalnızca bileşik faizi soruyorsa yine de $P$ değerini çıkarmanız gerekir.

Yanlış Bileşikleşme Sıklığını Kullanmak

Aylık, üç aylık ve yıllık bileşikleşme aynı sonucu vermez. Sorunun ifadesi $n$ değerini belirler.

Süre Koşulunu Unutmak

Eğer $r$ yıllık bir oransa, $t$ yıl cinsinden ölçülmelidir. Buradaki bir uyumsuzluk cevabı değiştirir.

Durumda Ek Nakit Akışları Varken Formülü Kullanmak

Her ay para ekleniyorsa ya da oran sürenin ortasında değişiyorsa, $A = P(1 + r/n)^{nt}$ formülünün tek bir kullanımı yeterli olmaz.

Bileşik Faiz Formülü Ne Zaman Kullanılır

Bileşik faiz formülünü tasarruf hesaplarında, vadeli mevduatlarda, yatırım büyümesi örneklerinde ve sınıf içi finans problemlerinde görürsünüz. Aynı yapı, bir büyüklüğün eşit zaman aralıklarında aynı yüzdeyle büyüdüğü her durumda da ortaya çıkar.

Koşul önemlidir: bu, sabit oranlı tekrarlı büyüme modelidir. Basit olduğu için kullanışlıdır, ancak bu sadelik varsayımların doğru kalmasına bağlıdır.

Bileşik Faiz ve Basit Faiz

Basit faiz yalnızca başlangıç anaparası üzerinden büyür. Bileşik faiz ise güncellenmiş bakiye üzerinden büyür.

Bu yüzden basit faiz $A = P(1 + rt)$ gibi doğrusal bir model kullanırken, bileşik faiz üslü bir model kullanır. Faiz her dönem sonunda tekrar bakiyeye ekleniyorsa, doğru model üstel modeldir.

Benzer Bir Soru Deneyin

$P = 5000$, $r = 0.08$ ve $t = 2$ değerlerini aynı tutun, ancak bileşikleşmeyi üç aylıktan aylığa değiştirin. Sonra yeni tutarı yukarıdaki üç aylık sonuçla karşılaştırın. Formülü kendiniz kurduktan sonra birkaç farklı durumu denemek isterseniz, bir bileşik faiz hesaplayıcısı bunları hızlıca karşılaştırmanıza yardımcı olabilir.