Wzór na procent składany — wyjaśnienie A = P(1 + r/n)^nt

Wzór na procent składany pozwala obliczyć końcową kwotę po wzroście kapitału przy stałej rocznej stopie procentowej, gdy odsetki są dopisywane w regularnych odstępach czasu:

$$A = P\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}$$

Tutaj $P$ to kapitał początkowy, $r$ to roczna stopa procentowa zapisana w postaci dziesiętnej, $n$ to liczba okresów kapitalizacji w roku, a $t$ to czas w latach. Wynik $A$ oznacza łączną kwotę po doliczeniu odsetek. Jeśli chcesz obliczyć same odsetki, odejmij kapitał początkowy: $A - P$.

Używaj tego wzoru tylko wtedy, gdy roczna stopa pozostaje stała, harmonogram kapitalizacji jest znany i w danym okresie nie ma dodatkowych wpłat ani wypłat. Jeśli którykolwiek z tych warunków się zmienia, ten dokładny wzór nie opisuje już samodzielnie całej sytuacji.

Co oznacza $A = P(1 + r/n)^{nt}$

Wyrażenie

$$1 + \frac{r}{n}$$

jest czynnikiem wzrostu dla jednego okresu kapitalizacji. Jeśli roczna stopa wynosi $8\%$, a kapitalizacja jest kwartalna, to w każdym kwartale saldo jest mnożone przez

$$1 + \frac{0.08}{4} = 1.02$$

Wykładnik $nt$ mówi, ile razy ten wzrost zachodzi. Dla $2$ lat przy kapitalizacji kwartalnej saldo jest mnożone $4 \cdot 2 = 8$ razy.

To jest kluczowa idea procentu składanego: saldo jest wciąż mnożone przez ten sam czynnik w kolejnych okresach, więc późniejsze odsetki są naliczane także od wcześniej dopisanych odsetek.

Co oznacza każda zmienna

$P$ to kapitał początkowy, czyli początkowa kwota pieniędzy.

$r$ to roczna stopa procentowa w postaci dziesiętnej. Na przykład $8\% = 0.08$.

$n$ to liczba kapitalizacji odsetek w ciągu roku. Typowe przypadki to $n = 1$ dla kapitalizacji rocznej, $n = 2$ dla półrocznej, $n = 4$ dla kwartalnej i $n = 12$ dla miesięcznej.

$t$ to czas w latach. Jeśli stopa jest roczna, to $18$ miesięcy należy zapisać jako $1.5$ roku.

Przykład użycia wzoru na procent składany

Załóżmy, że zainwestowano $5{,}000$ przy rocznej stopie $8\%$ na $2$ lata, z kapitalizacją kwartalną.

Zacznij od danych:

$$P = 5000,\quad r = 0.08,\quad n = 4,\quad t = 2$$

Podstaw do wzoru:

$$A = 5000\left(1 + \frac{0.08}{4}\right)^{4 \cdot 2}$$

Uprość wzrost w jednym okresie i wykładnik:

$$A = 5000(1.02)^8$$

Teraz oblicz:

$$A \approx 5858.30$$

Zatem końcowa kwota wynosi około $5{,}858.30$.

Jeśli pytanie dotyczy tylko odsetek składanych, odejmij kapitał początkowy:

$$A - P \approx 5858.30 - 5000 = 858.30$$

Zatem naliczone odsetki składane wynoszą około $858.30$.

Ten przykład pokazuje też, dlaczego częstotliwość kapitalizacji ma znaczenie. Przy tym samym kapitale początkowym, stopie i czasie, ale przy kapitalizacji rocznej, kwota wyniosłaby $5000(1.08)^2 = 5832$, czyli byłaby nieco mniejsza.

Najczęstsze błędy przy stosowaniu wzoru na procent składany

Pozostawienie stopy w procentach

We wzorze $r$ musi być liczbą dziesiętną. Zatem $8\%$ zamienia się na $0.08$, a nie na $8$.

Mylenie kwoty końcowej z odsetkami

Wzór daje $A$, czyli końcową kwotę. Jeśli zadanie pyta tylko o odsetki składane, nadal trzeba odjąć $P$.

Użycie niewłaściwej częstotliwości kapitalizacji

Kapitalizacja miesięczna, kwartalna i roczna nie dają tego samego wyniku. Wartość $n$ zależy od treści zadania.

Zapomnienie o warunku dotyczącym czasu

Jeśli $r$ jest roczną stopą procentową, to $t$ musi być wyrażone w latach. Niezgodność tutaj zmienia wynik.

Użycie wzoru w sytuacji z dodatkowymi przepływami pieniężnymi

Jeśli co miesiąc dopłacasz pieniądze albo stopa zmienia się w połowie okresu, pojedyncze użycie $A = P(1 + r/n)^{nt}$ nie wystarczy.

Kiedy stosuje się wzór na procent składany

Wzór na procent składany pojawia się przy kontach oszczędnościowych, lokatach terminowych, przykładach wzrostu inwestycji i w szkolnych zadaniach z finansów. Ta sama struktura występuje też wszędzie tam, gdzie jakaś wielkość rośnie o ten sam procent w równych odstępach czasu.

Warunek jest ważny: to model powtarzalnego wzrostu przy stałej stopie. Jest użyteczny, bo jest prosty, ale ta prostota zależy od tego, czy założenia pozostają spełnione.

Procent składany a procent prosty

Procent prosty rośnie tylko od pierwotnego kapitału. Procent składany rośnie od zaktualizowanego salda.

Dlatego procent prosty używa modelu liniowego, takiego jak $A = P(1 + rt)$, a procent składany wykorzystuje wykładnik. Jeśli odsetki są dopisywane do salda po każdym okresie, właściwy jest model wykładniczy.

Spróbuj podobnego zadania

Zachowaj $P = 5000$, $r = 0.08$ i $t = 2$, ale zmień kapitalizację z kwartalnej na miesięczną. Następnie porównaj nową kwotę z wynikiem dla kapitalizacji kwartalnej powyżej. Jeśli chcesz sprawdzić kilka wersji po samodzielnym zapisaniu wzoru, kalkulator procentu składanego pomoże Ci szybko je porównać.