สูตรดอกเบี้ยทบต้น — อธิบาย A = P(1 + r/n)^nt

สูตรดอกเบี้ยทบต้นใช้บอกยอดเงินสุดท้ายหลังจากเงินเติบโตด้วยอัตราดอกเบี้ยรายปีคงที่ และมีการนำดอกเบี้ยไปรวมเข้ากับเงินต้นเป็นช่วง ๆ อย่างสม่ำเสมอ:

$$A = P\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}$$

ในที่นี้ $P$ คือเงินต้นเริ่มต้น, $r$ คืออัตราดอกเบี้ยรายปีในรูปทศนิยม, $n$ คือจำนวนครั้งที่มีการทบต้นต่อปี, และ $t$ คือเวลาเป็นปี ผลลัพธ์ $A$ คือยอดเงินรวมหลังคิดดอกเบี้ยแล้ว ถ้าต้องการเฉพาะดอกเบี้ย ให้ลบเงินต้นออก: $A - P$.

ใช้สูตรนี้ได้เมื่ออัตราดอกเบี้ยรายปีคงที่, ทราบรอบการทบต้นแน่นอน, และไม่มีการฝากเพิ่มหรือถอนเงินระหว่างช่วงเวลา หากเงื่อนไขข้อใดข้อหนึ่งเปลี่ยนไป สูตรนี้เพียงอย่างเดียวจะไม่สามารถอธิบายสถานการณ์ทั้งหมดได้อย่างครบถ้วน

ความหมายของ $A = P(1 + r/n)^{nt}$

นิพจน์

$$1 + \frac{r}{n}$$

คือตัวคูณการเติบโตสำหรับการทบต้นหนึ่งงวด ตัวอย่างเช่น ถ้าอัตราดอกเบี้ยรายปีเป็น $8\%$ และทบต้นรายไตรมาส แต่ละไตรมาสจะทำให้ยอดเงินคูณด้วย

$$1 + \frac{0.08}{4} = 1.02$$

เลขชี้กำลัง $nt$ บอกว่าการเติบโตนี้เกิดขึ้นทั้งหมดกี่ครั้ง สำหรับ $2$ ปีที่ทบต้นรายไตรมาส ยอดเงินจะถูกคูณทั้งหมด $4 \cdot 2 = 8$ ครั้ง

นี่คือแนวคิดสำคัญของดอกเบี้ยทบต้น: ยอดเงินถูกคูณด้วยตัวคูณเดิมในแต่ละงวดซ้ำ ๆ ดังนั้นดอกเบี้ยในช่วงหลังจึงเกิดขึ้นบนดอกเบี้ยที่สะสมมาก่อนด้วย

ความหมายของตัวแปรแต่ละตัว

$P$ คือเงินต้น หรือจำนวนเงินเริ่มต้น

$r$ คืออัตราดอกเบี้ยรายปีในรูปทศนิยม ตัวอย่างเช่น $8\% = 0.08$

$n$ คือจำนวนครั้งที่มีการทบต้นในแต่ละปี กรณีที่พบบ่อยคือ $n = 1$ สำหรับทบต้นรายปี, $n = 2$ สำหรับทุกครึ่งปี, $n = 4$ สำหรับรายไตรมาส, และ $n = 12$ สำหรับรายเดือน

$t$ คือเวลาเป็นปี ถ้าอัตราดอกเบี้ยเป็นรายปี ดังนั้น $18$ เดือนควรเขียนเป็น $1.5$ ปี

ตัวอย่างการใช้สูตรดอกเบี้ยทบต้น

สมมติว่านำเงิน $5{,}000$ ไปลงทุนที่อัตราดอกเบี้ยรายปี $8\%$ เป็นเวลา $2$ ปี โดยทบต้นรายไตรมาส

เริ่มจากค่าที่กำหนด:

$$P = 5000,\quad r = 0.08,\quad n = 4,\quad t = 2$$

แทนค่าในสูตร:

$$A = 5000\left(1 + \frac{0.08}{4}\right)^{4 \cdot 2}$$

จัดรูปตัวคูณต่อหนึ่งงวดและเลขชี้กำลัง:

$$A = 5000(1.02)^8$$

จากนั้นคำนวณค่า:

$$A \approx 5858.30$$

ดังนั้นยอดเงินสุดท้ายประมาณ $5{,}858.30$

ถ้าโจทย์ถามเฉพาะดอกเบี้ยทบต้น ให้ลบเงินต้นออก:

$$A - P \approx 5858.30 - 5000 = 858.30$$

ดังนั้นดอกเบี้ยทบต้นที่ได้รับประมาณ $858.30$

ตัวอย่างนี้ยังแสดงให้เห็นด้วยว่าความถี่ในการทบต้นมีผลต่อคำตอบอย่างไร หากใช้เงินต้น อัตราดอกเบี้ย และเวลาเท่าเดิม แต่เปลี่ยนเป็นทบต้นรายปี จะได้จำนวนเงินเป็น $5000(1.08)^2 = 5832$ ซึ่งน้อยกว่าเล็กน้อย

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยกับสูตรดอกเบี้ยทบต้น

คงอัตราดอกเบี้ยไว้เป็นเปอร์เซ็นต์

ในสูตรนี้ $r$ ต้องอยู่ในรูปทศนิยม ดังนั้น $8\%$ ต้องเขียนเป็น $0.08$ ไม่ใช่ $8$

สับสนระหว่างยอดรวมกับดอกเบี้ย

สูตรนี้ให้ค่า $A$ ซึ่งเป็นยอดเงินสุดท้าย ถ้าโจทย์ถามเฉพาะดอกเบี้ยทบต้น คุณยังต้องลบ $P$ ออก

ใช้ความถี่ในการทบต้นผิด

การทบต้นรายเดือน รายไตรมาส และรายปี ให้คำตอบไม่เท่ากัน คำบอกในโจทย์จะเป็นตัวกำหนดค่า $n$

ลืมเงื่อนไขเรื่องหน่วยเวลา

ถ้า $r$ เป็นอัตรารายปี ค่า $t$ ก็ต้องวัดเป็นปี ถ้าหน่วยไม่สอดคล้องกัน คำตอบจะเปลี่ยนไป

ใช้สูตรนี้ทั้งที่สถานการณ์มีเงินเข้าออกเพิ่มเติม

ถ้ามีการเติมเงินทุกเดือน หรืออัตราดอกเบี้ยเปลี่ยนกลางคัน การใช้ $A = P(1 + r/n)^{nt}$ เพียงครั้งเดียวจะไม่เพียงพอ

สูตรดอกเบี้ยทบต้นใช้เมื่อใด

คุณจะพบสูตรดอกเบี้ยทบต้นในบัญชีออมทรัพย์ เงินฝากประจำ ตัวอย่างการเติบโตของการลงทุน และโจทย์การเงินในห้องเรียน โครงสร้างเดียวกันนี้ยังปรากฏในสถานการณ์ใด ๆ ที่ปริมาณหนึ่งเติบโตด้วยเปอร์เซ็นต์เท่าเดิมในช่วงเวลาที่เท่ากัน

เงื่อนไขนี้สำคัญมาก: นี่คือแบบจำลองการเติบโตซ้ำ ๆ ที่ใช้อัตราคงที่ สูตรนี้มีประโยชน์เพราะเรียบง่าย แต่ความเรียบง่ายนั้นขึ้นอยู่กับสมมติฐานที่ยังคงเป็นจริง

ดอกเบี้ยทบต้นเทียบกับดอกเบี้ยอย่างง่าย

ดอกเบี้ยอย่างง่ายเติบโตจากเงินต้นเดิมเท่านั้น ส่วนดอกเบี้ยทบต้นเติบโตจากยอดเงินที่อัปเดตแล้ว

นั่นจึงเป็นเหตุผลว่าทำไมดอกเบี้ยอย่างง่ายใช้แบบจำลองเชิงเส้นอย่าง $A = P(1 + rt)$ ขณะที่ดอกเบี้ยทบต้นใช้เลขชี้กำลัง ถ้ามีการนำดอกเบี้ยกลับไปรวมในยอดเงินหลังจบแต่ละงวด แบบจำลองเอ็กซ์โพเนนเชียลคือแบบที่ถูกต้อง

ลองทำโจทย์ที่คล้ายกัน

คงค่า $P = 5000$, $r = 0.08$, และ $t = 2$ ไว้เหมือนเดิม แต่เปลี่ยนการทบต้นจากรายไตรมาสเป็นรายเดือน แล้วเปรียบเทียบยอดเงินใหม่กับผลลัพธ์แบบรายไตรมาสด้านบน หากคุณต้องการลองหลาย ๆ แบบหลังจากตั้งสูตรด้วยตัวเองแล้ว เครื่องคำนวณดอกเบี้ยทบต้นสามารถช่วยให้คุณเปรียบเทียบได้อย่างรวดเร็ว