Fórmula del interés compuesto — Explicación de A = P(1 + r/n)^nt

La fórmula del interés compuesto te da el monto final después de que un saldo crece a una tasa anual fija y los intereses se agregan a intervalos regulares:

$$A = P\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}$$

Aquí, $P$ es el capital inicial, $r$ es la tasa de interés anual escrita como decimal, $n$ es el número de periodos de capitalización por año y $t$ es el tiempo en años. El resultado $A$ es el monto total después de los intereses. Si quieres solo el interés, resta el capital inicial: $A - P$.

Usa esta fórmula solo cuando la tasa anual se mantiene fija, se conoce el calendario de capitalización y no hay depósitos ni retiros adicionales durante el periodo de tiempo. Si alguna de esas condiciones cambia, esta fórmula exacta ya no describe por sí sola toda la situación.

Qué significa $A = P(1 + r/n)^{nt}$

La expresión

$$1 + \frac{r}{n}$$

es el factor de crecimiento de un periodo de capitalización. Si la tasa anual es $8\%$ y la capitalización es trimestral, entonces cada trimestre multiplica el saldo por

$$1 + \frac{0.08}{4} = 1.02$$

El exponente $nt$ te dice cuántas veces ocurre ese crecimiento. Para $2$ años con capitalización trimestral, el saldo se multiplica $4 \cdot 2 = 8$ veces.

Esa es la idea clave del interés compuesto: el saldo sigue multiplicándose por el mismo factor en cada periodo, así que los intereses posteriores también se ganan sobre los intereses anteriores.

Qué significa cada variable

$P$ es el capital inicial, o la cantidad de dinero con la que se empieza.

$r$ es la tasa de interés anual en forma decimal. Por ejemplo, $8\% = 0.08$.

$n$ es cuántas veces se capitaliza el interés cada año. Casos comunes son $n = 1$ para capitalización anual, $n = 2$ para semestral, $n = 4$ para trimestral y $n = 12$ para mensual.

$t$ es el tiempo en años. Si la tasa es anual, entonces $18$ meses deben escribirse como $1.5$ años.

Ejemplo de la fórmula del interés compuesto

Supón que se invierten $5{,}000$ al $8\%$ de interés anual durante $2$ años, con capitalización trimestral.

Empieza con los datos:

$$P = 5000,\quad r = 0.08,\quad n = 4,\quad t = 2$$

Sustituye en la fórmula:

$$A = 5000\left(1 + \frac{0.08}{4}\right)^{4 \cdot 2}$$

Simplifica el crecimiento por periodo y el exponente:

$$A = 5000(1.02)^8$$

Ahora evalúa:

$$A \approx 5858.30$$

Así que el monto final es aproximadamente $5{,}858.30$.

Si el problema pide solo el interés compuesto, resta el capital inicial:

$$A - P \approx 5858.30 - 5000 = 858.30$$

Entonces, el interés compuesto ganado es aproximadamente $858.30$.

Este ejemplo también muestra por qué importa la frecuencia de capitalización. Con el mismo capital inicial, tasa y tiempo, pero con capitalización anual, el monto sería $5000(1.08)^2 = 5832$, que es ligeramente menor.

Errores comunes con la fórmula del interés compuesto

Dejar la tasa como porcentaje

En la fórmula, $r$ debe ser un decimal. Así que $8\%$ se convierte en $0.08$, no en $8$.

Confundir monto e interés

La fórmula da $A$, el monto final. Si el problema pide solo el interés compuesto, todavía tienes que restar $P$.

Usar la frecuencia de capitalización incorrecta

La capitalización mensual, trimestral y anual no dan la misma respuesta. El enunciado del problema determina $n$.

Olvidar la condición del tiempo

Si $r$ es una tasa anual, entonces $t$ debe medirse en años. Un desajuste aquí cambia la respuesta.

Usar la fórmula cuando la situación tiene flujos de efectivo adicionales

Si se agrega dinero cada mes o la tasa cambia a mitad del periodo, un solo uso de $A = P(1 + r/n)^{nt}$ no es suficiente.

Cuándo se usa la fórmula del interés compuesto

La fórmula del interés compuesto aparece en cuentas de ahorro, certificados de depósito, ejemplos de crecimiento de inversiones y problemas de finanzas en clase. La misma estructura también aparece en cualquier situación en la que una cantidad crece por el mismo porcentaje en intervalos de tiempo iguales.

La condición es importante: este es un modelo de crecimiento repetido con tasa fija. Es útil porque es simple, pero esa simplicidad depende de que las suposiciones se mantengan.

Interés compuesto vs. interés simple

El interés simple crece solo a partir del capital inicial. El interés compuesto crece a partir del saldo actualizado.

Por eso el interés simple usa un modelo lineal como $A = P(1 + rt)$, mientras que el interés compuesto usa un exponente. Si los intereses se agregan de nuevo al saldo después de cada periodo, el modelo exponencial es el correcto.

Prueba un problema similar

Mantén $P = 5000$, $r = 0.08$ y $t = 2$, pero cambia la capitalización de trimestral a mensual. Luego compara el nuevo monto con el resultado trimestral de arriba. Si quieres probar varias versiones después de plantear la fórmula por tu cuenta, una calculadora de interés compuesto puede ayudarte a compararlas rápidamente.