Médias — Média Aritmética, Ponderada e Média Móvel

Uma média é um único número que resume um conjunto de valores. Na escola, "média" muitas vezes significa média aritmética, mas uma média ponderada ou uma média móvel pode ser a melhor escolha, porque cada uma responde a uma pergunta diferente.

Use a média aritmética quando todos os valores devem contar igualmente. Use uma média ponderada quando alguns valores devem contar mais do que outros. Use uma média móvel quando os dados estão organizados ao longo do tempo e você quer suavizar oscilações de curto prazo.

Média aritmética: use quando todos os valores devem contar igualmente

A média aritmética é a média mais comum:

$$\text{mean} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}$$

Ela funciona quando cada observação deve ter a mesma influência. Se um valor deve importar mais do que outro, a média aritmética não é o melhor resumo.

A média usa todos os valores do conjunto, o que a torna útil e fácil de comparar entre grupos. Ela também é sensível a valores extremos, então um número muito alto ou muito baixo pode afastá-la do que parece típico.

Média ponderada: use quando alguns valores têm mais importância

Uma média ponderada dá importâncias diferentes a valores diferentes:

$$\text{weighted average} = \frac{\sum w_i x_i}{\sum w_i}$$

Aqui, $x_i$ é um valor e $w_i$ é seu peso. Pesos maiores dão a um valor mais influência no resultado.

Essa é a ferramenta certa quando o problema já informa que algumas partes importam mais. Notas por categoria, retornos de investimento pela participação na carteira e preços médios por quantidade seguem esse padrão.

Uma condição importa: o peso total $\sum w_i$ não pode ser $0$. O resultado só faz sentido se os pesos realmente corresponderem à situação que você está modelando.

Média móvel: use para suavizar dados ao longo do tempo

Uma média móvel é usada para dados listados em ordem temporal. Em vez de calcular a média do conjunto inteiro de uma vez, você calcula a média de uma janela deslizante de valores recentes.

Para uma média móvel simples com janela de tamanho $k$:

$$\text{MA}_t = \frac{x_t + x_{t-1} + \cdots + x_{t-k+1}}{k}$$

Isso ajuda a suavizar dados com ruído para que a tendência de curto prazo fique mais fácil de ver. Ela não elimina a variação e não prevê o futuro. Apenas resume dados recentes usando a janela que você escolheu.

O tamanho da janela importa. Se a janela muda, a média móvel também muda. Uma janela maior geralmente parece mais suave porque reage mais lentamente.

Um exemplo resolvido que mostra a diferença

Suponha que as notas de prática de um aluno ao longo de cinco semanas sejam $70$, $75$, $80$, $85$ e $100$.

Se você quer uma única média geral para as cinco semanas, use a média aritmética:

$$\frac{70 + 75 + 80 + 85 + 100}{5} = \frac{410}{5} = 82$$

Então a média aritmética é $82$.

Agora suponha que o professor queira dar mais peso ao trabalho recente, usando pesos $1, 1, 1, 2, 2$. Então a média ponderada é

$$\frac{1(70) + 1(75) + 1(80) + 2(85) + 2(100)}{1 + 1 + 1 + 2 + 2} = \frac{595}{7} = 85$$

Então a média ponderada é $85$. As notas mais recentes importam mais, então o resultado aumenta.

Se você quiser suavizar a tendência recente em vez disso, use uma média móvel de $3$ semanas para as últimas três semanas:

$$\frac{80 + 85 + 100}{3} = \frac{265}{3} \approx 88.3$$

Isso não substitui a média do curso inteiro. Responde a uma pergunta diferente: como tem sido o desempenho recente?

Os mesmos cinco números produziram três médias diferentes porque o objetivo mudou. Essa é a ideia principal por trás de escolher a média certa.

Erros comuns ao trabalhar com médias

Usar a média aritmética quando os dados já têm pesos

Se categorias de prova, quantidades ou porcentagens têm importâncias diferentes, uma média simples pode enganar. Dar pesos iguais só faz sentido quando cada valor deve contribuir igualmente.

Fazer a média de médias sem manter os pesos originais

Se uma turma tem $10$ alunos e outra tem $30$, em geral você não pode calcular a média das duas médias das turmas como se fossem grupos do mesmo tamanho. Você precisa das contagens ou dos pesos originais.

Esquecer de dividir pelo peso total

Em uma média ponderada, multiplicar os valores pelos pesos é apenas parte do processo. Você ainda precisa dividir por $\sum w_i$.

Falar em média móvel sem informar o tamanho da janela

Uma média móvel fica incompleta se você não disser qual janela usou. Uma média móvel de $3$ dias e uma média móvel de $30$ dias não são intercambiáveis.

Quando cada tipo de média é usado

Use a média aritmética para notas de prova, medições ou outros dados em que cada observação deve contar igualmente.

Use uma média ponderada quando o problema já atribui importância, como categorias de nota ou quantidades vendidas.

Use uma média móvel para dados ao longo do tempo, como temperaturas, vendas, tráfego ou progresso nos estudos, quando os valores brutos variam muito de um período para o outro.

Tente um problema parecido

Pegue cinco números do seu próprio trabalho ou dos seus estudos. Encontre a média aritmética, depois uma média ponderada em que os dois últimos valores contem em dobro e, em seguida, uma média móvel de $3$ valores para a última janela. Essa comparação rápida geralmente mostra de que tipo de média o seu problema realmente precisa.