Promedios — media aritmética, promedio ponderado y media móvil

Un promedio es un solo número que resume un conjunto de valores. En la escuela, "promedio" suele significar la media aritmética, pero un promedio ponderado o una media móvil pueden ser una mejor opción porque cada uno responde a una pregunta distinta.

Usa la media aritmética cuando todos los valores deban contar por igual. Usa un promedio ponderado cuando algunos valores deban contar más que otros. Usa una media móvil cuando los datos estén ordenados en el tiempo y quieras suavizar las subidas y bajadas de corto plazo.

Media aritmética: úsala cuando todos los valores deban contar por igual

La media aritmética es el promedio habitual:

$$\text{mean} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}$$

Esto funciona cuando cada observación merece la misma influencia. Si un valor debe importar más que otro, la media aritmética no es el resumen adecuado.

La media usa todos los valores del conjunto, lo que la hace útil y fácil de comparar entre grupos. También es sensible a los valores atípicos, así que un número inusualmente grande o pequeño puede alejarla de lo que parece típico.

Promedio ponderado: úsalo cuando algunos valores tienen más importancia

Un promedio ponderado da distinta importancia a distintos valores:

$$\text{weighted average} = \frac{\sum w_i x_i}{\sum w_i}$$

Aquí, $x_i$ es un valor y $w_i$ es su peso. Los pesos más grandes le dan a un valor más influencia en el resultado.

Esta es la herramienta correcta cuando el problema ya te dice que algunas partes importan más. Las calificaciones por categorías, los rendimientos de inversión según la proporción de la cartera y los precios promedio según la cantidad siguen este patrón.

Hay una condición importante: el peso total $\sum w_i$ no debe ser $0$. El resultado solo tiene sentido si los pesos realmente coinciden con la situación que estás modelando.

Media móvil: úsala para suavizar datos a lo largo del tiempo

Una media móvil se usa para datos listados en orden temporal. En lugar de promediar todo el conjunto de una vez, promedias una ventana móvil de valores recientes.

Para una media móvil simple con longitud de ventana $k$:

$$\text{MA}_t = \frac{x_t + x_{t-1} + \cdots + x_{t-k+1}}{k}$$

Esto ayuda a suavizar datos ruidosos para que la tendencia de corto plazo sea más fácil de ver. No elimina la variación y no predice el futuro. Solo resume datos recientes usando la ventana que elegiste.

La longitud de la ventana importa. Si cambias la ventana, la media móvil también cambia. Una ventana más larga normalmente se ve más suave porque reacciona más lentamente.

Un ejemplo resuelto que muestra la diferencia

Supón que las puntuaciones de práctica de un estudiante durante cinco semanas son $70$, $75$, $80$, $85$ y $100$.

Si quieres un solo promedio general de las cinco semanas, usa la media aritmética:

$$\frac{70 + 75 + 80 + 85 + 100}{5} = \frac{410}{5} = 82$$

Así que la media aritmética es $82$.

Ahora supón que el profesor quiere que el trabajo reciente cuente más, usando pesos $1, 1, 1, 2, 2$. Entonces el promedio ponderado es

$$\frac{1(70) + 1(75) + 1(80) + 2(85) + 2(100)}{1 + 1 + 1 + 2 + 2} = \frac{595}{7} = 85$$

Así que el promedio ponderado es $85$. Las puntuaciones más recientes importan más, por eso el resultado sube.

Si en cambio quieres suavizar la tendencia reciente, usa una media móvil de $3$ semanas para las últimas tres semanas:

$$\frac{80 + 85 + 100}{3} = \frac{265}{3} \approx 88.3$$

Esto no reemplaza el promedio de todo el curso. Responde a una pregunta distinta: ¿cómo se ha visto el rendimiento reciente?

Los mismos cinco números produjeron tres promedios diferentes porque cambió el objetivo. Esa es la idea clave para elegir el promedio correcto.

Errores comunes al trabajar con promedios

Usar la media aritmética cuando los datos ya tienen pesos

Si las categorías de exámenes, las cantidades o los porcentajes tienen distinta importancia, una media simple puede llevar a error. La ponderación igual solo tiene sentido cuando cada valor debe contribuir por igual.

Promediar promedios sin conservar los pesos originales

Si una clase tiene $10$ estudiantes y otra tiene $30$, normalmente no puedes promediar los dos promedios de clase como si fueran grupos del mismo tamaño. Necesitas las cantidades o los pesos subyacentes.

Olvidar dividir entre el peso total

En un promedio ponderado, multiplicar los valores por los pesos es solo una parte del proceso. Todavía tienes que dividir entre $\sum w_i$.

Nombrar una media móvil sin indicar la longitud de la ventana

Una media móvil está incompleta si no dices qué ventana usaste. Una media móvil de $3$ días y una media móvil de $30$ días no son intercambiables.

Cuándo se usa cada tipo de promedio

Usa la media aritmética para calificaciones, mediciones u otros datos en los que cada observación deba contar por igual.

Usa un promedio ponderado cuando el problema ya asigna importancia, como categorías de notas o cantidades vendidas.

Usa una media móvil para datos basados en el tiempo, como temperaturas, ventas, tráfico o progreso de estudio, cuando los valores brutos saltan de un período al siguiente.

Prueba un problema parecido

Toma cinco números de tus propios datos de trabajo o estudio. Calcula la media aritmética, luego un promedio ponderado en el que los dos últimos valores cuenten el doble y después una media móvil de $3$ valores para la última ventana. Esa comparación rápida suele mostrar qué tipo de promedio necesita realmente tu problema.