Durchschnitt berechnen — arithmetisches Mittel, gewichteter Durchschnitt

Ein Durchschnitt ist eine einzelne Zahl, die eine Menge von Werten zusammenfasst. In der Schule meint „Durchschnitt“ oft das arithmetische Mittel, aber ein gewichteter oder gleitender Durchschnitt kann die bessere Wahl sein, weil jede Art eine andere Frage beantwortet.

Verwende das arithmetische Mittel, wenn jeder Wert gleich stark zählen soll. Verwende einen gewichteten Durchschnitt, wenn manche Werte stärker zählen sollen als andere. Verwende einen gleitenden Durchschnitt, wenn die Daten zeitlich geordnet sind und du kurzfristige Schwankungen glätten möchtest.

Arithmetisches Mittel: wenn jeder Wert gleich stark zählen soll

Das arithmetische Mittel ist der übliche Durchschnitt:

$$\text{mean} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}$$

Das funktioniert, wenn jede Beobachtung den gleichen Einfluss haben soll. Wenn ein Wert wichtiger sein soll als ein anderer, ist das arithmetische Mittel nicht die richtige Zusammenfassung.

Das Mittel verwendet jeden Wert der Datenmenge, was es nützlich macht und Vergleiche zwischen Gruppen erleichtert. Es reagiert aber empfindlich auf Ausreißer, sodass eine ungewöhnlich große oder kleine Zahl das Ergebnis von dem wegziehen kann, was typisch wirkt.

Gewichteter Durchschnitt: wenn manche Werte wichtiger sind

Ein gewichteter Durchschnitt gibt verschiedenen Werten unterschiedliche Bedeutung:

$$\text{weighted average} = \frac{\sum w_i x_i}{\sum w_i}$$

Hier ist $x_i$ ein Wert und $w_i$ sein Gewicht. Größere Gewichte geben einem Wert mehr Einfluss auf das Ergebnis.

Das ist das richtige Werkzeug, wenn die Aufgabe schon vorgibt, dass manche Teile wichtiger sind. Kursnoten, Renditen nach Portfolioanteil und Durchschnittspreise nach Menge folgen alle diesem Muster.

Eine Bedingung ist wichtig: Das Gesamtgewicht $\sum w_i$ darf nicht $0$ sein. Das Ergebnis ist nur sinnvoll, wenn die Gewichte wirklich zu der Situation passen, die du modellierst.

Gleitender Durchschnitt: um Daten über die Zeit zu glätten

Ein gleitender Durchschnitt wird für Daten verwendet, die in zeitlicher Reihenfolge vorliegen. Statt die gesamte Datenmenge auf einmal zu mitteln, bildest du den Durchschnitt über ein rollierendes Fenster aus den neuesten Werten.

Für einen einfachen gleitenden Durchschnitt mit Fensterlänge $k$ gilt:

$$\text{MA}_t = \frac{x_t + x_{t-1} + \cdots + x_{t-k+1}}{k}$$

Das hilft, unruhige Daten zu glätten, sodass der kurzfristige Trend leichter zu erkennen ist. Es entfernt die Schwankungen nicht und sagt auch nicht die Zukunft voraus. Es fasst nur die jüngsten Daten mit dem von dir gewählten Fenster zusammen.

Die Fensterlänge ist wichtig. Änderst du das Fenster, ändert sich auch der gleitende Durchschnitt. Ein längeres Fenster wirkt meist glatter, weil es langsamer auf Veränderungen reagiert.

Ein durchgerechnetes Beispiel, das den Unterschied zeigt

Angenommen, die Übungsergebnisse eines Schülers über fünf Wochen sind $70$, $75$, $80$, $85$ und $100$.

Wenn du einen einzigen Gesamtdurchschnitt über alle fünf Wochen willst, verwendest du das arithmetische Mittel:

$$\frac{70 + 75 + 80 + 85 + 100}{5} = \frac{410}{5} = 82$$

Das arithmetische Mittel ist also $82$.

Angenommen nun, die Lehrkraft möchte, dass neuere Leistungen stärker zählen, mit den Gewichten $1, 1, 1, 2, 2$. Dann ist der gewichtete Durchschnitt

$$\frac{1(70) + 1(75) + 1(80) + 2(85) + 2(100)}{1 + 1 + 1 + 2 + 2} = \frac{595}{7} = 85$$

Der gewichtete Durchschnitt ist also $85$. Die neueren Ergebnisse zählen stärker, deshalb steigt das Ergebnis.

Wenn du stattdessen den aktuellen Trend glätten willst, verwendest du für die letzten drei Wochen einen gleitenden $3$-Wochen-Durchschnitt:

$$\frac{80 + 85 + 100}{3} = \frac{265}{3} \approx 88.3$$

Das ersetzt nicht den Gesamtdurchschnitt des ganzen Kurses. Es beantwortet eine andere Frage: Wie sah die Leistung in letzter Zeit aus?

Dieselben fünf Zahlen ergeben also drei verschiedene Durchschnitte, weil sich das Ziel geändert hat. Das ist die zentrale Idee bei der Wahl des richtigen Durchschnitts.

Häufige Fehler beim Arbeiten mit Durchschnitten

Das arithmetische Mittel verwenden, obwohl die Daten schon Gewichte haben

Wenn Testkategorien, Mengen oder Prozentsätze unterschiedlich wichtig sind, kann ein einfaches Mittel irreführend sein. Gleiche Gewichtung ist nur sinnvoll, wenn jeder Wert gleich viel beitragen soll.

Durchschnitte mitteln, ohne die ursprünglichen Gewichte zu berücksichtigen

Wenn eine Klasse $10$ Schüler hat und eine andere $30$, kannst du die beiden Klassendurchschnitte meist nicht so mitteln, als wären die Gruppen gleich groß. Du brauchst die zugrunde liegenden Anzahlen oder Gewichte.

Vergessen, durch das Gesamtgewicht zu teilen

Bei einem gewichteten Durchschnitt ist das Multiplizieren der Werte mit den Gewichten nur ein Teil der Rechnung. Du musst danach immer noch durch $\sum w_i$ teilen.

Einen gleitenden Durchschnitt nennen, ohne die Fensterlänge anzugeben

Ein gleitender Durchschnitt ist unvollständig, wenn du nicht sagst, welches Fenster du verwendet hast. Ein gleitender $3$-Tage-Durchschnitt und ein gleitender $30$-Tage-Durchschnitt sind nicht austauschbar.

Wann welche Art von Durchschnitt verwendet wird

Verwende das arithmetische Mittel für Testergebnisse, Messwerte oder andere Daten, bei denen jede Beobachtung gleich stark zählen soll.

Verwende einen gewichteten Durchschnitt, wenn die Aufgabe bereits Wichtigkeiten vorgibt, zum Beispiel Notenkategorien oder verkaufte Mengen.

Verwende einen gleitenden Durchschnitt für zeitabhängige Daten wie Temperaturen, Verkäufe, Verkehr oder Lernfortschritt, wenn die Rohwerte von einer Periode zur nächsten stark schwanken.

Probiere eine ähnliche Aufgabe

Nimm fünf Zahlen aus deinen eigenen Arbeits- oder Lerndaten. Berechne das arithmetische Mittel, dann einen gewichteten Durchschnitt, bei dem die letzten zwei Werte doppelt zählen, und danach einen gleitenden Durchschnitt mit $3$ Werten für das letzte Fenster. Dieser schnelle Vergleich zeigt meist, welche Art von Durchschnitt dein Problem wirklich braucht.