Ortalamalar — Aritmetik Ortalama, Ağırlıklı ve Hareketli Ortalama

Ortalama, bir değerler kümesini özetleyen tek bir sayıdır. Okulda "ortalama" çoğu zaman aritmetik ortalama anlamına gelir, ancak ağırlıklı ortalama ya da hareketli ortalama daha iyi bir seçim olabilir; çünkü her biri farklı bir soruyu yanıtlar.

Her değerin eşit sayılması gerektiğinde aritmetik ortalamayı kullanın. Bazı değerlerin diğerlerinden daha fazla sayılması gerektiğinde ağırlıklı ortalamayı kullanın. Veriler zaman sırasına göre düzenlenmişse ve kısa vadeli iniş çıkışları yumuşatmak istiyorsanız hareketli ortalamayı kullanın.

Aritmetik ortalama: her değer eşit sayılacaksa kullanın

Aritmetik ortalama, bildiğimiz olağan ortalamadır:

$$\text{mean} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}$$

Bu yöntem, her gözlemin aynı etkiye sahip olması gerektiğinde işe yarar. Eğer bir değer diğerinden daha önemliyse, aritmetik ortalama doğru özet değildir.

Ortalama, kümedeki her değeri kullanır; bu da onu kullanışlı kılar ve gruplar arasında karşılaştırmayı kolaylaştırır. Ayrıca aykırı değerlere duyarlıdır; bu yüzden alışılmadık derecede büyük ya da küçük bir sayı, sonucu tipik görünen değerden uzaklaştırabilir.

Ağırlıklı ortalama: bazı değerler daha önemliyse kullanın

Ağırlıklı ortalama, farklı değerlere farklı önem verir:

$$\text{weighted average} = \frac{\sum w_i x_i}{\sum w_i}$$

Burada $x_i$ bir değeri, $w_i$ ise onun ağırlığını gösterir. Daha büyük ağırlıklar, bir değerin sonuç üzerindeki etkisini artırır.

Problem size bazı parçaların daha önemli olduğunu zaten söylüyorsa doğru araç budur. Ders notları, portföy payına göre yatırım getirileri ve miktara göre ortalama fiyatlar bu yapıya uyar.

Bir koşul önemlidir: toplam ağırlık $\sum w_i$, $0$ olmamalıdır. Sonuç ancak ağırlıklar modellediğiniz duruma gerçekten uyuyorsa anlamlıdır.

Hareketli ortalama: zaman içindeki verileri yumuşatmak için kullanın

Hareketli ortalama, zaman sırasına göre listelenmiş veriler için kullanılır. Tüm kümeyi bir kerede ortalamak yerine, son değerlerden oluşan kayan bir pencerenin ortalamasını alırsınız.

Pencere uzunluğu $k$ olan basit bir hareketli ortalama için:

$$\text{MA}_t = \frac{x_t + x_{t-1} + \cdots + x_{t-k+1}}{k}$$

Bu, gürültülü verileri yumuşatmaya yardımcı olur; böylece kısa vadeli eğilim daha kolay görülür. Değişkenliği ortadan kaldırmaz ve geleceği tahmin etmez. Yalnızca seçtiğiniz pencereyi kullanarak yakın dönem verilerini özetler.

Pencere uzunluğu önemlidir. Pencereyi değiştirirseniz hareketli ortalama da değişir. Daha uzun bir pencere genellikle daha pürüzsüz görünür, çünkü değişimlere daha yavaş tepki verir.

Farkı gösteren çözümlü bir örnek

Bir öğrencinin beş haftalık deneme puanlarının $70$, $75$, $80$, $85$ ve $100$ olduğunu düşünün.

Beş haftanın tamamı için tek bir genel ortalama istiyorsanız, aritmetik ortalamayı kullanın:

$$\frac{70 + 75 + 80 + 85 + 100}{5} = \frac{410}{5} = 82$$

Buna göre aritmetik ortalama $82$'dir.

Şimdi öğretmenin son çalışmalara daha fazla ağırlık vermek istediğini ve ağırlıkların $1, 1, 1, 2, 2$ olduğunu düşünün. O zaman ağırlıklı ortalama

$$\frac{1(70) + 1(75) + 1(80) + 2(85) + 2(100)}{1 + 1 + 1 + 2 + 2} = \frac{595}{7} = 85$$

olur.

Buna göre ağırlıklı ortalama $85$'tir. Yeni puanlar daha önemli olduğu için sonuç yükselir.

Bunun yerine son eğilimi yumuşatmak istiyorsanız, son üç hafta için $3$ haftalık hareketli ortalama kullanın:

$$\frac{80 + 85 + 100}{3} = \frac{265}{3} \approx 88.3$$

Bu, tüm dersin genel ortalamasının yerine geçmez. Farklı bir soruyu yanıtlar: son dönemde performans nasıl görünüyordu?

Aynı beş sayı, amaç değiştiği için üç farklı ortalama verdi. Doğru ortalamayı seçmenin temel fikri budur.

Ortalamalarla çalışırken sık yapılan hatalar

Veride zaten ağırlıklar varken aritmetik ortalama kullanmak

Test kategorileri, miktarlar veya yüzdeler farklı öneme sahipse, düz bir ortalama yanıltıcı olabilir. Eşit ağırlıklandırma yalnızca her değer eşit katkı yapacaksa anlamlıdır.

Asıl ağırlıkları korumadan ortalamaların ortalamasını almak

Bir sınıfta $10$, diğerinde $30$ öğrenci varsa, genellikle bu iki sınıf ortalamasını sanki gruplar eşit büyüklükteymiş gibi ortalayamazsınız. Temeldeki sayılara ya da ağırlıklara ihtiyacınız vardır.

Toplam ağırlığa bölmeyi unutmak

Ağırlıklı ortalamada, değerleri ağırlıklarla çarpmak işin yalnızca bir kısmıdır. Hâlâ $\sum w_i$'ye bölmeniz gerekir.

Pencere uzunluğunu belirtmeden hareketli ortalama demek

Hangi pencerenin kullanıldığını söylemezseniz hareketli ortalama eksik kalır. $3$ günlük hareketli ortalama ile $30$ günlük hareketli ortalama birbirinin yerine kullanılamaz.

Her ortalama türü ne zaman kullanılır?

Her gözlemin eşit sayılması gereken sınav puanları, ölçümler veya benzer veriler için aritmetik ortalamayı kullanın.

Not kategorileri ya da satılan miktarlar gibi, problem önem derecesini zaten belirliyorsa ağırlıklı ortalamayı kullanın.

Ham değerler bir dönemden diğerine sıçrıyorsa, sıcaklık, satış, trafik veya çalışma ilerlemesi gibi zamana bağlı veriler için hareketli ortalamayı kullanın.

Benzer bir soru deneyin

Kendi çalışma ya da ders verilerinizden beş sayı alın. Önce aritmetik ortalamayı bulun, sonra son iki değerin iki kat sayıldığı bir ağırlıklı ortalama hesaplayın, ardından son pencere için $3$ değerli bir hareketli ortalama bulun. Bu kısa karşılaştırma, probleminizin aslında hangi tür ortalamaya ihtiyaç duyduğunu genellikle gösterir.