Προβλήματα μαθηματικών με κείμενο — Πώς να τα λύνεις

Ένα πρόβλημα μαθηματικών με κείμενο σου ζητά να μετατρέψεις μια σύντομη πραγματική κατάσταση σε μαθηματικά, να τη λύσεις και να ερμηνεύσεις την απάντηση μέσα στο σωστό πλαίσιο. Ο πιο γρήγορος τρόπος να βελτιωθείς είναι να χωρίσεις τη διαδικασία σε δύο μέρη: πρώτα μετάφραση, μετά υπολογισμός.

Οι περισσότεροι μαθητές δεν δυσκολεύονται στις πράξεις. Δυσκολεύονται στο να αποφασίσουν τι σημαίνουν μαθηματικά οι λέξεις.

Γιατί τα προβλήματα μαθηματικών με κείμενο φαίνονται δύσκολα

Κάθε πρόβλημα με κείμενο έχει δύο επίπεδα:

1. Να κατανοήσεις την κατάσταση.
2. Να λύσεις το μαθηματικό μοντέλο που έφτιαξες από αυτήν.

Αν το μοντέλο είναι λάθος, ακόμη και η σωστή άλγεβρα δίνει λάθος απάντηση.

Πώς να λύνεις προβλήματα με κείμενο βήμα βήμα

Ξεκίνα κάνοντας μία άμεση ερώτηση: ποιο μέγεθος προσπαθώ να βρω;

Έπειτα όρισε αυτό το μέγεθος με σαφήνεια. Αν το πρόβλημα περιλαμβάνει ευρώ, ώρες, χιλιόμετρα ή αριθμό αντικειμένων, κράτησε αυτή τη μονάδα ορατή. Οι μονάδες συχνά δείχνουν αν η εξίσωση που έγραψες βγάζει νόημα.

Στη συνέχεια, μετέφρασε κάθε χρήσιμη πρόταση σε μια σχέση. Λέξεις όπως «σύνολο», «περισσότερα από», «λιγότερα από», «ανά» και «το καθένα» μπορούν να βοηθήσουν, αλλά δεν αντικαθιστούν τη σκέψη. Η ίδια φράση μπορεί να οδηγήσει σε διαφορετικές εξισώσεις σε διαφορετικά συμφραζόμενα.

Τέλος, λύσε και έλεγξε. Ένας καλός έλεγχος δεν είναι μόνο να αντικαταστήσεις τον αριθμό πίσω σε μια εξίσωση. Είναι και να αναρωτηθείς αν η απάντηση ταιριάζει με την ιστορία του προβλήματος. Αν το αποτέλεσμα είναι αρνητικό, κλασματικό ή έχει λάθος μονάδα ενώ η κατάσταση απαιτεί ολόκληρα αντικείμενα, κάτι δεν πάει καλά.

Λυμένο παράδειγμα: πρόβλημα με πωλήσεις εισιτηρίων

Έστω ότι ένα μουσείο πουλά μόνο εισιτήρια ενηλίκων και μαθητικά εισιτήρια. Τα εισιτήρια ενηλίκων κοστίζουν $12$ δολάρια το καθένα, τα μαθητικά εισιτήρια κοστίζουν $7$ δολάρια το καθένα και μια ομάδα αγοράζει $23$ εισιτήρια συνολικά, πληρώνοντας $221$ δολάρια. Πόσα από κάθε είδος πουλήθηκαν;

Η προϋπόθεση έχει σημασία εδώ: αυτή η διάταξη λειτουργεί μόνο επειδή υποθέτουμε ότι στην πώληση υπάρχουν ακριβώς δύο είδη εισιτηρίων.

Έστω $a$ ο αριθμός των εισιτηρίων ενηλίκων και $s$ ο αριθμός των μαθητικών εισιτηρίων.

Από το συνολικό πλήθος εισιτηρίων,

$$a + s = 23$$

Από το συνολικό κόστος,

$$12a + 7s = 221$$

Τώρα λύνουμε το σύστημα. Από την πρώτη εξίσωση,

$$s = 23 - a$$

Αντικαθιστούμε στην εξίσωση του κόστους:

$$12a + 7(23 - a) = 221$$ $$12a + 161 - 7a = 221$$ $$5a = 60$$ $$a = 12$$

Τότε

$$s = 23 - 12 = 11$$

Άρα η απάντηση είναι $12$ εισιτήρια ενηλίκων και $11$ μαθητικά εισιτήρια.

Έλεγξε και τις δύο συνθήκες της εκφώνησης:

$$12 + 11 = 23$$

και

$$12 \cdot 12 + 7 \cdot 11 = 144 + 77 = 221$$

Και οι δύο συνθήκες επαληθεύονται, άρα η λύση είναι συνεπής.

Συνηθισμένα λάθη στα προβλήματα με κείμενο

Ένα συνηθισμένο λάθος είναι να αρχίζεις τους υπολογισμούς πριν ορίσεις το άγνωστο. Αυτό συνήθως οδηγεί σε εξισώσεις με ασαφές νόημα.

Ένα άλλο είναι η μηχανική μετάφραση λέξεων-κλειδιών. Για παράδειγμα, το «περισσότερα από» δεν σημαίνει πάντα ότι πρέπει να γράψεις τους όρους με την ίδια σειρά που εμφανίζονται στην πρόταση. Η σχέση έχει μεγαλύτερη σημασία από το γλωσσικό μοτίβο.

Οι μαθητές επίσης συχνά ξεχνούν τον έλεγχο της μονάδας. Αν ένα πρόβλημα ζητά τον αριθμό των λεωφορείων, το $3.4$ συνήθως δεν είναι λογική τελική απάντηση, εκτός αν η ερώτηση ζητά πραγματικά έναν μέσο όρο.

Ένα τελευταίο λάθος είναι να ελέγχεις μόνο μία συνθήκη όταν το πρόβλημα δίνει δύο. Στο παράδειγμα με τα εισιτήρια, ένα ζεύγος αριθμών πρέπει να ικανοποιεί και το πλήθος των εισιτηρίων και το συνολικό κόστος.

Πού χρησιμοποιούνται τα προβλήματα με κείμενο

Τα προβλήματα με κείμενο είναι ο τρόπος με τον οποίο εμφανίζονται τα μαθηματικά έξω από ένα φύλλο ασκήσεων. Εμφανίζονται σε προϋπολογισμούς, σε ερωτήσεις απόστασης-ταχύτητας-χρόνου, σε προβλήματα μειγμάτων, στη γεωμετρία, σε επιχειρηματικά σύνολα και στην ερμηνεία δεδομένων. Ακόμη κι όταν τα τελικά μαθηματικά είναι μόνο μία γραμμική εξίσωση, η πραγματική δεξιότητα είναι να αποφασίσεις ποια πρέπει να είναι αυτή η εξίσωση.

Γι’ αυτό αυτό το θέμα έχει σημασία και πέρα από το σχολείο. Αν μπορείς να μετατρέπεις μια σύντομη περιγραφή σε σωστό μαθηματικό μοντέλο, μπορείς να παίρνεις πρακτικές αποφάσεις με μεγαλύτερη αξιοπιστία.

Δοκίμασε ένα παρόμοιο πρόβλημα

Άλλαξε το παράδειγμα του μουσείου βάζοντας διαφορετικές τιμές εισιτηρίων ή διαφορετικό συνολικό αριθμό εισιτηρίων και μετά φτιάξε ξανά τις εξισώσεις από την αρχή. Αν θέλεις ένα χρήσιμο επόμενο βήμα αφού λύσεις με το χέρι, δοκίμασε ένα παρόμοιο πρόβλημα και έλεγξε αν οι εξισώσεις σου ικανοποιούν κάθε συνθήκη της εκφώνησης.