Ιστόγραμμα — Συχνότητα, πλάτος κλάσης και πώς να το διαβάζεις

Ένα ιστόγραμμα δείχνει πόσο συχνά οι αριθμητικές τιμές πέφτουν σε διαστήματα όπως $0$ έως $10$ ή $10$ έως $20$. Το πλάτος κλάσης είναι το μέγεθος κάθε διαστήματος και η συχνότητα είναι πόσες τιμές ανήκουν σε αυτό το διάστημα.

Για να το διαβάσεις γρήγορα, έλεγξε τις ετικέτες των διαστημάτων στον οριζόντιο άξονα, βρες την πιο ψηλή μπάρα και πρόσεξε πού οι μπάρες αραιώνουν ή εξαφανίζονται. Αυτό σου δείχνει πού συγκεντρώνονται τα δεδομένα και πού είναι λίγα.

Τι σου δείχνει ένα ιστόγραμμα

Τα ιστογράμματα χρησιμοποιούνται για αριθμητικά δεδομένα που έχουν ομαδοποιηθεί σε διαστήματα, τα οποία συχνά λέγονται κλάσεις ή bins. Οι μπάρες εφάπτονται, επειδή τα διαστήματα βρίσκονται το ένα δίπλα στο άλλο πάνω σε μια αριθμητική γραμμή.

Γι’ αυτό ένα ιστόγραμμα δεν είναι το ίδιο με ένα ραβδόγραμμα. Ένα ραβδόγραμμα συγκρίνει ξεχωριστές κατηγορίες, όπως αθλήματα ή χρώματα. Ένα ιστόγραμμα δείχνει το σχήμα μιας κατανομής.

Συχνότητα και πλάτος κλάσης

Η συχνότητα μιας κλάσης είναι ο αριθμός των παρατηρήσεων σε εκείνο το διάστημα. Αν η κλάση $60$ έως $70$ περιέχει $8$ βαθμολογίες τεστ, τότε η συχνότητά της είναι $8$.

Το πλάτος κλάσης είναι το μέγεθος του διαστήματος. Για μια κλάση από $60$ έως $70$, το πλάτος κλάσης είναι $10$. Όταν κάθε κλάση έχει το ίδιο πλάτος, οι ψηλότερες μπάρες σημαίνουν μεγαλύτερη συχνότητα.

Αν τα πλάτη κλάσης δεν είναι ίσα, μην συγκρίνεις αυτόματα τα ύψη των μπαρών. Σε πολλά μαθήματα, ο κατακόρυφος άξονας αλλάζει τότε σε πυκνότητα συχνότητας, ώστε το εμβαδό της μπάρας να παριστάνει τη συχνότητα και όχι μόνο το ύψος.

$$\text{frequency density} = \frac{\text{frequency}}{\text{class width}}$$

Άρα, πριν συγκρίνεις μπάρες, έλεγξε αν οι κλάσεις έχουν ίσο πλάτος και τι μετρά ο κατακόρυφος άξονας.

Παράδειγμα ιστογράμματος με ίσα πλάτη κλάσης

Ας υποθέσουμε ότι ένα ιστόγραμμα συνοψίζει τις εξής βαθμολογίες κουίζ:

Διάστημα βαθμολογίας	Συχνότητα
$40$ έως $50$	$2$
$50$ έως $60$	$5$
$60$ έως $70$	$8$
$70$ έως $80$	$4$
$80$ έως $90$	$1$

Κάθε κλάση έχει πλάτος $10$, οπότε τα ύψη των μπαρών μπορούν να συγκριθούν άμεσα.

Η πιο ψηλή μπάρα είναι από $60$ έως $70$, άρα αυτό το διάστημα περιέχει τις περισσότερες βαθμολογίες. Οι περισσότερες βαθμολογίες βρίσκονται μεταξύ $50$ και $80$, και μόνο λίγες είναι κάτω από $50$ ή πάνω από $80$.

Μια σαφής σύνοψη θα ήταν: οι βαθμολογίες συγκεντρώνονται στη μέση, με τη μεγαλύτερη συγκέντρωση μεταξύ $60$ και $70$.

Πώς να διαβάζεις ένα ιστόγραμμα βήμα βήμα

Ξεκίνα από τον οριζόντιο άξονα, ώστε να ξέρεις τι καλύπτει κάθε μπάρα. Έπειτα έλεγξε αν τα πλάτη κλάσης είναι ίσα.

Αν τα πλάτη είναι ίσα, οι πιο ψηλές μπάρες δείχνουν τα πιο συνηθισμένα διαστήματα. Μετά, κοίτα το συνολικό σχήμα: πού είναι το κέντρο, πού υπάρχουν κενά και αν η μία πλευρά εκτείνεται περισσότερο από την άλλη.

Αν τα πλάτη δεν είναι ίσα, σταμάτα πριν συγκρίνεις τα ύψη. Πρέπει να ξέρεις αν το γράφημα χρησιμοποιεί συχνότητα ή πυκνότητα συχνότητας.

Συνηθισμένα λάθη

Σύγχυση ανάμεσα σε ιστόγραμμα και ραβδόγραμμα

Σε ένα ιστόγραμμα, οι μπάρες συνήθως εφάπτονται επειδή τα διαστήματα συνδέονται. Σε ένα ραβδόγραμμα, οι κατηγορίες είναι ξεχωριστές, οπότε τα κενά ανάμεσα στις μπάρες είναι φυσιολογικά.

Παράβλεψη του πλάτους κλάσης

Οι μαθητές συχνά συγκρίνουν τα ύψη χωρίς να ελέγχουν αν όλα τα διαστήματα έχουν το ίδιο πλάτος. Αυτό λειτουργεί μόνο όταν τα πλάτη κλάσης είναι ίσα ή όταν ο κατακόρυφος άξονας έχει ήδη προσαρμοστεί με πυκνότητα συχνότητας.

Απρόσεκτη αντιμετώπιση των άκρων των διαστημάτων

Τα ομαδοποιημένα δεδομένα χρειάζονται έναν σταθερό κανόνα για τα όρια των κλάσεων. Για παράδειγμα, μια βαθμολογία $70$ πρέπει να ανήκει σε μία κλάση, όχι και στις δύο. Η σήμανση ή τα συμφραζόμενα συνήθως δείχνουν ποια πλευρά περιλαμβάνεται.

Προσδοκία ακριβών αρχικών δεδομένων

Ένα ιστόγραμμα συνοψίζει ομαδοποιημένα δεδομένα. Δείχνει καλά το μοτίβο, αλλά δεν σου επιτρέπει να ανακτήσεις κάθε αρχική τιμή όπως μπορεί να κάνει ένα διάγραμμα κορμού και φύλλων.

Πότε είναι χρήσιμα τα ιστογράμματα

Τα ιστογράμματα είναι χρήσιμα όταν θέλεις μια γρήγορη εικόνα του πώς κατανέμονται τα αριθμητικά δεδομένα. Είναι συνηθισμένα στη στατιστική, στα εργαστήρια φυσικών επιστημών, στις βαθμολογίες τεστ, στους χρόνους απόκρισης και στα δεδομένα ποιοτικού ελέγχου.

Είναι ιδιαίτερα χρήσιμα πριν υπολογίσεις συνοπτικά στατιστικά μέτρα, επειδή δείχνουν αν τα δεδομένα φαίνονται ισορροπημένα, ασύμμετρα, συγκεντρωμένα ή ασυνήθιστα απλωμένα.

Ένα πρακτικό επόμενο βήμα

Πάρε ένα μικρό σύνολο αριθμητικών δεδομένων, χώρισέ το σε διαστήματα ίσου πλάτους και σχεδίασε ένα ιστόγραμμα με το χέρι. Έπειτα γράψε μία πρόταση που να περιγράφει το μοτίβο πριν υπολογίσεις τον μέσο όρο ή τη διάμεσο. Για να προχωρήσεις περισσότερο, δοκίμασε τη δική σου εκδοχή με διαφορετικά πλάτη κλάσης και δες πώς αλλάζει η εικόνα.