Signifikante Stellen

Signifikante Stellen zeigen, wie genau ein gemessener Wert ist. Sie umfassen die Ziffern, die sicher bekannt sind, plus eine letzte Ziffer, die aus der Messung geschätzt wird.

Deshalb vermitteln $12.3\ \mathrm{cm}$ und $12.30\ \mathrm{cm}$ nicht dieselbe Genauigkeit, obwohl sie als Dezimalzahlen gleich sind. Die zweite Zahl gibt eine Genauigkeit bis zu einer kleineren Stellenwertposition an.

Was signifikante Stellen bedeuten

Signifikante Stellen sagen nichts darüber aus, wie groß eine Zahl ist. Sie zeigen, wie sorgfältig sie gemessen oder angegeben wurde.

Zum Beispiel:

• $45.7$ hat $3$ signifikante Stellen.
• $0.0045$ hat $2$ signifikante Stellen.
• $1002$ hat $4$ signifikante Stellen, weil die Nullen zwischen von null verschiedenen Ziffern stehen.
• $3.400$ hat $4$ signifikante Stellen, weil die nachgestellten Nullen nach dem Dezimalkomma die Messgenauigkeit zeigen.

Die meisten Fehler entstehen bei Nullen. Eine Null zählt nur dann, wenn sie hilft, die gemessene Genauigkeit anzugeben.

So zählt man signifikante Stellen

Diese Regeln decken die meisten Fälle im Unterricht ab:

1. Von null verschiedene Ziffern sind immer signifikant.
2. Nullen zwischen von null verschiedenen Ziffern sind signifikant.
3. Führende Nullen sind nicht signifikant.
4. Nachgestellte Nullen rechts vom Dezimalkomma sind normalerweise signifikant.
5. Nachgestellte Nullen in einer ganzen Zahl können mehrdeutig sein, wenn die Schreibweise die Genauigkeit nicht klar macht.

Der letzte Punkt ist wichtig. Die Zahl $1500$ allein sagt nicht immer, ob die letzten beiden Nullen gemessen wurden oder nur Platzhalter sind. Die wissenschaftliche Schreibweise beseitigt diese Mehrdeutigkeit:

$$1.5 \times 10^3$$

hat $2$ signifikante Stellen, während

$$1.500 \times 10^3$$

$4$ signifikante Stellen hat.

Durchgerechnetes Beispiel: Multiplikation mit signifikanten Stellen

Angenommen, du multiplizierst

$$4.56 \times 1.4$$

Führe zuerst die rohe Multiplikation aus:

$$4.56 \times 1.4 = 6.384$$

Entscheide dann, wie viele signifikante Stellen das Endergebnis haben soll:

• $4.56$ hat $3$ signifikante Stellen.
• $1.4$ hat $2$ signifikante Stellen.

Bei der Multiplikation soll das Ergebnis genauso viele signifikante Stellen haben wie der Faktor mit den wenigsten signifikanten Stellen. Hier bedeutet das $2$ signifikante Stellen.

Also gilt:

$$6.384 \approx 6.4$$

Das angegebene Ergebnis ist

$$6.4$$

Das ist die Grundidee hinter signifikanten Stellen: Deine Antwort sollte nicht mehr Genauigkeit vortäuschen, als die Ausgangsmessungen hergeben.

Warum bei Addition und Subtraktion eine andere Regel gilt

Bei Addition und Subtraktion ist die entscheidende Größe die Dezimalstelle, nicht nur die Gesamtzahl signifikanter Stellen.

Zum Beispiel:

$$12.11 + 0.3 = 12.41$$

Aber $0.3$ ist nur bis zur Zehntelstelle genau, also sollte auch das Endergebnis bis zur Zehntelstelle angegeben werden:

$$12.41 \approx 12.4$$

Wenn du hier die Regel für die Multiplikation verwendest, kannst du falsch runden. Die Rechenart bestimmt die Rundungsregel.

Häufige Fehler bei signifikanten Stellen

Führende Nullen mitzählen

In $0.0028$ verschieben die Nullen nur das Dezimalkomma. Nur $2$ und $8$ sind signifikant, also hat die Zahl $2$ signifikante Stellen.

Jede nachgestellte Null gleich behandeln

In $3.40$ ist die Null signifikant, weil sie eine gemessene Genauigkeit über die Zehntelstelle hinaus zeigt. In $3400$ können die nachgestellten Nullen signifikant sein oder auch nicht, wenn der Kontext oder die Schreibweise das nicht klar macht.

Zu früh runden

Wenn du mitten in einer längeren Rechnung rundest, können sich kleine Rundungsänderungen aufsummieren. Meist ist es besser, zusätzliche Ziffern bis zum Ende beizubehalten und dann einmal zu runden.

Eine Regel für alle Rechenarten verwenden

Bei Multiplikation und Division gilt die kleinste Anzahl signifikanter Stellen. Bei Addition und Subtraktion gilt die ungenaueste Dezimalstelle. Diese Regeln zu vermischen, ist einer der häufigsten Fehler.

Wann signifikante Stellen verwendet werden

Signifikante Stellen treten immer dann auf, wenn Zahlen aus Messungen stammen und nicht aus exaktem Zählen.

Häufige Fälle sind:

• Labordaten in Chemie und Physik
• gemessene Längen, Massen, Zeiten und Temperaturen
• technische Berechnungen, bei denen die angegebene Genauigkeit wichtig ist
• wissenschaftliche Schreibweise, besonders wenn die Genauigkeit klar dargestellt werden soll

Wenn eine Zahl exakt ist, zum Beispiel $12$ Gegenstände in einer Kiste oder ein definierter Umrechnungsfaktor, begrenzt sie die Genauigkeit des Endergebnisses nicht. Dieser Unterschied ist wichtig: Die Regeln für signifikante Stellen gelten für Messwerte, nicht für exakte Anzahlen.

Eine schnelle Methode zur Kontrolle deiner Antwort

Stelle dir nach einer Rechnung zwei Fragen:

1. Welche Eingabe war am ungenauesten?
2. Zeigt mein Endergebnis mehr Genauigkeit, als diese Eingabe rechtfertigt?

Wenn die Antwort auf die zweite Frage ja ist, runde noch einmal.

Probiere eine ähnliche Aufgabe

Versuche, die signifikanten Stellen in $0.04050$ zu zählen, und entscheide dann, wie viele signifikante Stellen im Produkt

$$2.31 \times 0.04050$$

erhalten bleiben sollten.

Wenn du einen sinnvollen nächsten Schritt möchtest, probiere deine eigene Variante mit wissenschaftlicher Schreibweise aus, denn dort ist die Anzahl signifikanter Stellen oft leichter zu erkennen.