เลขนัยสำคัญ

เลขนัยสำคัญบอกว่าค่าที่วัดได้มีความแม่นยำมากน้อยเพียงใด โดยรวมเลขโดดที่ทราบได้อย่างมั่นใจ และเลขโดดตัวสุดท้ายอีกหนึ่งตัวที่เป็นค่าประมาณจากการวัด

นั่นจึงเป็นเหตุผลที่ $12.3\ \mathrm{cm}$ และ $12.30\ \mathrm{cm}$ ไม่ได้สื่อความแม่นยำเท่ากัน แม้ว่าจะมีค่าเท่ากันในรูปทศนิยมก็ตาม ตัวเลขตัวที่สองแสดงความแม่นยำถึงหลักที่เล็กกว่า

เลขนัยสำคัญหมายถึงอะไร

เลขนัยสำคัญไม่ได้บอกว่าจำนวนนั้นใหญ่หรือเล็กแค่ไหน แต่บอกว่าค่านั้นถูกวัดหรือรายงานมาอย่างละเอียดเพียงใด

ตัวอย่างเช่น:

• $45.7$ มีเลขนัยสำคัญ $3$ ตัว
• $0.0045$ มีเลขนัยสำคัญ $2$ ตัว
• $1002$ มีเลขนัยสำคัญ $4$ ตัว เพราะศูนย์อยู่ระหว่างเลขที่ไม่ใช่ศูนย์
• $3.400$ มีเลขนัยสำคัญ $4$ ตัว เพราะศูนย์ท้ายหลังจุดทศนิยมแสดงความแม่นยำของการวัด

ข้อผิดพลาดส่วนใหญ่มักเกิดจากศูนย์ ศูนย์จะนับก็ต่อเมื่อมันช่วยแสดงความแม่นยำของค่าที่วัดได้

วิธีนับเลขนัยสำคัญ

กฎเหล่านี้ครอบคลุมกรณีส่วนใหญ่ที่พบในห้องเรียน:

1. เลขโดดที่ไม่ใช่ศูนย์เป็นเลขนัยสำคัญเสมอ
2. ศูนย์ที่อยู่ระหว่างเลขโดดที่ไม่ใช่ศูนย์เป็นเลขนัยสำคัญ
3. ศูนย์นำหน้าไม่เป็นเลขนัยสำคัญ
4. ศูนย์ท้ายที่อยู่ทางขวาของจุดทศนิยมมักเป็นเลขนัยสำคัญ
5. ศูนย์ท้ายในจำนวนเต็มอาจกำกวมได้ เว้นแต่รูปแบบการเขียนจะทำให้ความแม่นยำชัดเจน

ประเด็นสุดท้ายนี้สำคัญ จำนวน $1500$ เพียงอย่างเดียวไม่ได้บอกเสมอไปว่าศูนย์สองตัวท้ายเป็นค่าที่วัดได้จริง หรือเป็นเพียงตัวเติมตำแหน่ง สัญกรณ์วิทยาศาสตร์ช่วยแก้ความกำกวมนี้ได้:

$$1.5 \times 10^3$$

มีเลขนัยสำคัญ $2$ ตัว ขณะที่

$$1.500 \times 10^3$$

มีเลขนัยสำคัญ $4$ ตัว

ตัวอย่างทำโจทย์: การคูณกับเลขนัยสำคัญ

สมมติว่าคุณคูณ

$$4.56 \times 1.4$$

ก่อนอื่นคำนวณผลคูณตรง ๆ:

$$4.56 \times 1.4 = 6.384$$

จากนั้นพิจารณาว่าคำตอบสุดท้ายควรมีเลขนัยสำคัญกี่ตัว:

• $4.56$ มีเลขนัยสำคัญ $3$ ตัว
• $1.4$ มีเลขนัยสำคัญ $2$ ตัว

สำหรับการคูณ ผลลัพธ์ควรมีเลขนัยสำคัญเท่ากับตัวประกอบที่มีเลขนัยสำคัญน้อยที่สุด ในที่นี้จึงต้องมี $2$ ตัว

ดังนั้น

$$6.384 \approx 6.4$$

ผลลัพธ์ที่รายงานคือ

$$6.4$$

นี่คือแนวคิดหลักของเลขนัยสำคัญ: คำตอบของคุณไม่ควรแสดงความแม่นยำมากกว่าค่าที่ใช้ตั้งต้นในการวัด

ทำไมการบวกและการลบจึงใช้กฎต่างออกไป

สำหรับการบวกและการลบ สิ่งที่จำกัดความแม่นยำคือตำแหน่งทศนิยม ไม่ใช่แค่จำนวนเลขนัยสำคัญทั้งหมด

ตัวอย่างเช่น:

$$12.11 + 0.3 = 12.41$$

แต่ $0.3$ แม่นยำเพียงถึงหลักส่วนสิบ ดังนั้นคำตอบสุดท้ายก็ควรรายงานถึงหลักส่วนสิบเช่นกัน:

$$12.41 \approx 12.4$$

ถ้าคุณใช้กฎของการคูณในกรณีนี้ คุณอาจปัดผิดได้ ชนิดของการคำนวณเป็นตัวกำหนดกฎการปัด

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยเกี่ยวกับเลขนัยสำคัญ

การนับศูนย์นำหน้า

ใน $0.0028$ ศูนย์มีหน้าที่เพียงเลื่อนตำแหน่งจุดทศนิยม มีเพียง $2$ และ $8$ ที่เป็นเลขนัยสำคัญ ดังนั้นจำนวนนี้จึงมีเลขนัยสำคัญ $2$ ตัว

มองว่าศูนย์ท้ายทุกตัวเหมือนกัน

ใน $3.40$ ศูนย์เป็นเลขนัยสำคัญ เพราะแสดงความแม่นยำเกินกว่าหลักส่วนสิบ แต่ใน $3400$ ศูนย์ท้ายอาจเป็นหรือไม่เป็นเลขนัยสำคัญก็ได้ เว้นแต่บริบทหรือรูปแบบการเขียนจะทำให้ชัดเจน

ปัดเศษเร็วเกินไป

ถ้าคุณปัดระหว่างทางในโจทย์ที่คำนวณหลายขั้น การเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยจากการปัดอาจสะสมได้ โดยทั่วไปควรเก็บเลขเพิ่มไว้จนถึงตอนจบ แล้วค่อยปัดเพียงครั้งเดียว

ใช้กฎเดียวกับทุกการคำนวณ

การคูณและการหารใช้จำนวนเลขนัยสำคัญที่น้อยที่สุด การบวกและการลบใช้ตำแหน่งทศนิยมที่แม่นยำน้อยที่สุด การสับสนระหว่างสองกฎนี้เป็นข้อผิดพลาดที่พบบ่อยมาก

เลขนัยสำคัญใช้เมื่อใด

เลขนัยสำคัญปรากฏทุกครั้งที่ตัวเลขมาจากการวัด ไม่ใช่จากการนับแบบแน่นอน

กรณีที่พบบ่อย ได้แก่:

• ข้อมูลการทดลองในวิชาเคมีและฟิสิกส์
• ความยาว มวล เวลา และอุณหภูมิที่วัดได้
• การคำนวณทางวิศวกรรมที่ความแม่นยำของผลลัพธ์มีความสำคัญ
• สัญกรณ์วิทยาศาสตร์ โดยเฉพาะเมื่อคุณต้องการแสดงความแม่นยำให้ชัดเจน

ถ้าจำนวนนั้นเป็นค่าที่แน่นอน เช่น วัตถุ $12$ ชิ้นในกล่อง หรืออัตราการแปลงหน่วยที่นิยามไว้แน่นอน มันจะไม่เป็นตัวจำกัดความแม่นยำของคำตอบสุดท้าย เงื่อนไขนี้สำคัญมาก: กฎเลขนัยสำคัญใช้กับค่าที่วัดได้ ไม่ใช่จำนวนที่นับได้แน่นอน

วิธีเช็กคำตอบแบบเร็ว

หลังจากคำนวณเสร็จ ให้ถามตัวเองสองข้อ:

1. ค่าตั้งต้นตัวใดมีความแม่นยำน้อยที่สุด?
2. คำตอบสุดท้ายของฉันแสดงความแม่นยำมากเกินกว่าที่ค่าตั้งต้นนั้นรองรับหรือไม่?

ถ้าคำตอบของข้อที่สองคือใช่ ให้ปัดอีกครั้ง

ลองทำโจทย์ที่คล้ายกัน

ลองนับเลขนัยสำคัญของ $0.04050$ แล้วตัดสินใจว่าควรเหลือเลขนัยสำคัญกี่ตัวในผลคูณ

$$2.31 \times 0.04050$$

ถ้าคุณอยากลองต่ออีกขั้น ลองสร้างโจทย์ของตัวเองโดยใช้สัญกรณ์วิทยาศาสตร์ เพราะจำนวนเลขนัยสำคัญมักมองเห็นได้ง่ายกว่าในรูปแบบนั้น