有効数字

有効数字は、測定値がどれくらい精密かを表します。確実にわかっている数字に加えて、測定から見積もった最後の1桁も含まれます。

そのため、$12.3\ \mathrm{cm}$ と $12.30\ \mathrm{cm}$ は、小数としては同じ値でも、同じ精度を表しているわけではありません。後者のほうが、より細かい位までの精度を示しています。

有効数字の意味

有効数字は、数の大きさを表すものではありません。どれだけ注意深く測定または記録されたかを表すものです。

たとえば:

• $45.7$ は有効数字が $3$ 桁です。
• $0.0045$ は有効数字が $2$ 桁です。
• $1002$ は、ゼロがゼロでない数字の間にあるので、有効数字が $4$ 桁です。
• $3.400$ は、小数点の後ろの末尾のゼロが測定精度を示しているので、有効数字が $4$ 桁です。

多くの間違いはゼロの扱いで起こります。ゼロは、測定された精度を示すのに役立つときだけ有効数字になります。

有効数字の数え方

次のルールで、授業で出てくるほとんどの場合を扱えます。

1. ゼロでない数字は常に有効数字です。
2. ゼロでない数字の間にあるゼロは有効数字です。
3. 先頭のゼロは有効数字ではありません。
4. 小数点の右側にある末尾のゼロは、通常は有効数字です。
5. 整数の末尾のゼロは、表記によって精度が明確でない限り、あいまいなことがあります。

最後の点は重要です。$1500$ という数だけでは、最後の2つのゼロが測定されたものなのか、単なる位取りなのかが必ずしもわかりません。科学的記数法を使うと、このあいまいさはなくなります。

$$1.5 \times 10^3$$

は有効数字が $2$ 桁であり、

$$1.500 \times 10^3$$

は有効数字が $4$ 桁です。

例題: 有効数字を使った掛け算

次の掛け算を考えます。

$$4.56 \times 1.4$$

まず、そのまま計算します。

$$4.56 \times 1.4 = 6.384$$

次に、最終的な答えを何桁の有効数字で表すべきかを決めます。

• $4.56$ は有効数字が $3$ 桁です。
• $1.4$ は有効数字が $2$ 桁です。

掛け算では、結果は有効数字が最も少ない因数に合わせます。ここでは、有効数字 $2$ 桁にするということです。

したがって、

$$6.384 \approx 6.4$$

報告する結果は

$$6.4$$

です。

これが有効数字の基本的な考え方です。最初の測定値よりも高い精度を、答えが主張してはいけません。

足し算と引き算で別のルールを使う理由

足し算と引き算では、基準になるのは有効数字の総数ではなく、小数位です。

たとえば:

$$12.11 + 0.3 = 12.41$$

しかし、$0.3$ は小数第1位までしか精度がありません。したがって、最終的な答えも小数第1位までで表すべきです。

$$12.41 \approx 12.4$$

ここで掛け算のルールを使うと、誤って丸めてしまうことがあります。どの丸め方を使うかは、計算の種類で決まります。

有効数字でよくある間違い

先頭のゼロを数えてしまう

$0.0028$ では、ゼロは小数点の位置を動かしているだけです。有効なのは $2$ と $8$ だけなので、この数の有効数字は $2$ 桁です。

すべての末尾のゼロを同じように扱う

$3.40$ では、ゼロは小数第1位より先の測定精度を示しているので有効です。$3400$ では、文脈や表記で明確になっていない限り、末尾のゼロが有効かどうかは決まりません。

途中で早く丸めすぎる

長い計算の途中で丸めると、小さな丸めの違いが積み重なることがあります。通常は、最後まで余分な桁を残しておき、最後に一度だけ丸めるほうがよいです。

すべての計算で同じルールを使う

掛け算と割り算では、有効数字が最も少ない値に合わせます。足し算と引き算では、最も精度の低い小数位に合わせます。これらのルールを混同するのは、最もよくある誤りの1つです。

有効数字が使われる場面

有効数字は、数が正確な個数ではなく、測定から得られたときに使われます。

よくある例は次のとおりです。

• 化学や物理の実験データ
• 測定した長さ、質量、時間、温度
• 表示する精度が重要な工学計算
• 精度を明確に示したいときの科学的記数法

もし数が正確な値であれば、たとえば箱の中に $12$ 個の物体がある場合や、定義された換算係数のような場合には、最終的な答えの精度を制限しません。この条件は重要です。有効数字のルールは測定値に適用され、正確な個数には適用されません。

答えをすばやく確認する方法

計算が終わったら、次の2つを自分に問いかけてください。

1. 入力の中で最も精度が低いのはどれか？
2. 最終的な答えは、その入力が支えられる以上の精度を示していないか？

2つ目の答えが「はい」なら、もう一度丸めましょう。

似た問題に挑戦してみよう

まず $0.04050$ の有効数字を数え、そのあとで次の積に何桁の有効数字を残すべきかを考えてみてください。

$$2.31 \times 0.04050$$

次の一歩として役立つのは、科学的記数法を使った自分なりの問題を試すことです。科学的記数法では、有効数字の桁数が見えやすいことがよくあります。