Cifre significative

Le cifre significative indicano quanto è precisa una misura. Comprendono le cifre note con certezza, più un’ultima cifra stimata a partire dalla misurazione.

Per questo $12.3\ \mathrm{cm}$ e $12.30\ \mathrm{cm}$ non comunicano la stessa precisione, anche se come numeri decimali sono uguali. Il secondo numero indica una precisione fino a un ordine di grandezza più piccolo.

Cosa significano le cifre significative

Le cifre significative non riguardano quanto è grande un numero. Riguardano quanto accuratamente è stato misurato o riportato.

Per esempio:

• $45.7$ ha $3$ cifre significative.
• $0.0045$ ha $2$ cifre significative.
• $1002$ ha $4$ cifre significative perché gli zeri sono tra cifre diverse da zero.
• $3.400$ ha $4$ cifre significative perché gli zeri finali dopo la virgola mostrano la precisione della misura.

La maggior parte degli errori riguarda gli zeri. Uno zero conta solo quando aiuta a mostrare la precisione della misura.

Come contare le cifre significative

Queste regole coprono la maggior parte dei casi scolastici:

1. Le cifre diverse da zero sono sempre significative.
2. Gli zeri tra cifre diverse da zero sono significativi.
3. Gli zeri iniziali non sono significativi.
4. Gli zeri finali a destra della virgola decimale sono di solito significativi.
5. Gli zeri finali in un numero intero possono essere ambigui, a meno che la notazione non renda chiara la precisione.

Quest’ultimo punto è importante. Il numero $1500$ da solo non dice sempre se gli ultimi due zeri siano stati misurati oppure siano solo segnaposto. La notazione scientifica elimina l’ambiguità:

$$1.5 \times 10^3$$

ha $2$ cifre significative, mentre

$$1.500 \times 10^3$$

ha $4$ cifre significative.

Esempio svolto: moltiplicazione con cifre significative

Supponiamo di moltiplicare

$$4.56 \times 1.4$$

Per prima cosa esegui la moltiplicazione senza arrotondare:

$$4.56 \times 1.4 = 6.384$$

Ora decidi quante cifre significative deve avere il risultato finale:

• $4.56$ ha $3$ cifre significative.
• $1.4$ ha $2$ cifre significative.

Nella moltiplicazione, il risultato deve avere lo stesso numero di cifre significative del fattore con meno cifre significative. Qui significa $2$ cifre significative.

Quindi

$$6.384 \approx 6.4$$

Il risultato riportato è

$$6.4$$

Questa è l’idea principale delle cifre significative: la tua risposta non deve dichiarare una precisione maggiore di quella delle misure di partenza.

Perché addizione e sottrazione usano una regola diversa

Per addizione e sottrazione, il criterio limitante è la posizione decimale, non semplicemente il numero totale di cifre significative.

Per esempio:

$$12.11 + 0.3 = 12.41$$

Ma $0.3$ è preciso solo fino ai decimi, quindi anche il risultato finale deve essere riportato ai decimi:

$$12.41 \approx 12.4$$

Se qui usi la regola della moltiplicazione, puoi arrotondare in modo scorretto. È l’operazione a determinare la regola di arrotondamento.

Errori comuni con le cifre significative

Contare gli zeri iniziali

In $0.0028$, gli zeri servono solo a spostare la virgola decimale. Solo $2$ e $8$ sono significativi, quindi il numero ha $2$ cifre significative.

Trattare tutti gli zeri finali allo stesso modo

In $3.40$, lo zero è significativo perché mostra una precisione oltre i decimi. In $3400$, gli zeri finali possono essere significativi oppure no, a meno che il contesto o la notazione non lo rendano chiaro.

Arrotondare troppo presto

Se arrotondi nel mezzo di un calcolo più lungo, piccoli cambiamenti dovuti all’arrotondamento possono accumularsi. Di solito è meglio mantenere qualche cifra in più fino alla fine, poi arrotondare una sola volta.

Usare una sola regola per ogni operazione

Moltiplicazione e divisione usano il minor numero di cifre significative. Addizione e sottrazione usano la posizione decimale meno precisa. Confondere queste regole è uno degli errori più comuni.

Quando si usano le cifre significative

Le cifre significative compaiono ogni volta che i numeri derivano da una misura e non da un conteggio esatto.

I casi più comuni includono:

• dati di laboratorio in chimica e fisica
• lunghezze, masse, tempi e temperature misurati
• calcoli di ingegneria in cui la precisione riportata conta
• notazione scientifica, soprattutto quando serve mostrare chiaramente la precisione

Se un numero è esatto, come $12$ oggetti in una scatola o un fattore di conversione definito, non limita la precisione del risultato finale. Questa condizione è importante: le regole delle cifre significative si applicano ai valori misurati, non ai conteggi esatti.

Un modo rapido per controllare la tua risposta

Dopo aver completato un calcolo, poniti due domande:

1. Quale dato iniziale era il meno preciso?
2. Il mio risultato finale mostra più precisione di quella supportata da quel dato?

Se la risposta alla seconda domanda è sì, arrotonda di nuovo.

Prova un esercizio simile

Prova a contare le cifre significative in $0.04050$, poi decidi quante cifre significative devono rimanere nel prodotto

$$2.31 \times 0.04050$$

Se vuoi fare un passo in più utile, prova una tua versione con la notazione scientifica, dove il numero di cifre significative è spesso più facile da vedere.