Cyfry znaczące

Cyfry znaczące mówią, jak dokładna jest zmierzona wartość. Obejmują cyfry znane z pewnością oraz jedną ostatnią cyfrę oszacowaną na podstawie pomiaru.

Dlatego $12.3\ \mathrm{cm}$ i $12.30\ \mathrm{cm}$ nie przekazują tej samej dokładności, mimo że jako liczby dziesiętne są równe. Druga liczba podaje dokładność do mniejszego rzędu.

Co oznaczają cyfry znaczące

Cyfry znaczące nie mówią o tym, jak duża jest liczba. Pokazują, jak starannie została zmierzona lub zapisana.

Na przykład:

• $45.7$ ma $3$ cyfry znaczące.
• $0.0045$ ma $2$ cyfry znaczące.
• $1002$ ma $4$ cyfry znaczące, ponieważ zera znajdują się między cyframi różnymi od zera.
• $3.400$ ma $4$ cyfry znaczące, ponieważ zera końcowe po przecinku pokazują zmierzoną dokładność.

Większość błędów dotyczy zer. Zero liczy się tylko wtedy, gdy pomaga pokazać zmierzoną dokładność.

Jak liczyć cyfry znaczące

Te zasady obejmują większość szkolnych przypadków:

1. Cyfry różne od zera są zawsze znaczące.
2. Zera między cyframi różnymi od zera są znaczące.
3. Zera wiodące nie są znaczące.
4. Zera końcowe po prawej stronie przecinka dziesiętnego są zwykle znaczące.
5. Zera końcowe w liczbie całkowitej mogą być niejednoznaczne, jeśli zapis nie pokazuje wyraźnie dokładności.

Ten ostatni punkt ma znaczenie. Liczba $1500$ sama w sobie nie zawsze mówi, czy dwa ostatnie zera zostały zmierzone, czy są tylko zerami dopisanymi dla zachowania miejsca. Zapis naukowy usuwa tę niejednoznaczność:

$$1.5 \times 10^3$$

ma $2$ cyfry znaczące, natomiast

$$1.500 \times 10^3$$

ma $4$ cyfry znaczące.

Przykład: mnożenie z użyciem cyfr znaczących

Załóżmy, że mnożysz

$$4.56 \times 1.4$$

Najpierw wykonaj zwykłe mnożenie:

$$4.56 \times 1.4 = 6.384$$

Teraz zdecyduj, ile cyfr znaczących powinien mieć wynik końcowy:

• $4.56$ ma $3$ cyfry znaczące.
• $1.4$ ma $2$ cyfry znaczące.

Przy mnożeniu wynik powinien mieć tyle samo cyfr znaczących co czynnik z najmniejszą ich liczbą. Tutaj oznacza to $2$ cyfry znaczące.

Zatem

$$6.384 \approx 6.4$$

Podany wynik to

$$6.4$$

To jest główna idea cyfr znaczących: odpowiedź nie powinna sugerować większej dokładności niż pomiary, od których zaczynasz.

Dlaczego przy dodawaniu i odejmowaniu obowiązuje inna zasada

Przy dodawaniu i odejmowaniu ograniczeniem jest miejsce po przecinku, a nie tylko całkowita liczba cyfr znaczących.

Na przykład:

$$12.11 + 0.3 = 12.41$$

Ale $0.3$ jest dokładne tylko do części dziesiątych, więc wynik końcowy także należy podać do części dziesiątych:

$$12.41 \approx 12.4$$

Jeśli zastosujesz tu zasadę mnożenia, możesz zaokrąglić niepoprawnie. To rodzaj działania wyznacza zasadę zaokrąglania.

Typowe błędy przy cyfrach znaczących

Liczenie zer wiodących

W liczbie $0.0028$ zera tylko przesuwają przecinek dziesiętny. Znaczące są tylko $2$ i $8$, więc liczba ma $2$ cyfry znaczące.

Traktowanie wszystkich zer końcowych tak samo

W $3.40$ zero jest znaczące, ponieważ pokazuje zmierzoną dokładność poza miejscem dziesiątych. W $3400$ zera końcowe mogą być albo nie być znaczące, jeśli kontekst lub zapis tego nie wyjaśnia.

Zbyt wczesne zaokrąglanie

Jeśli zaokrąglasz w środku dłuższego obliczenia, małe zmiany wynikające z zaokrągleń mogą się kumulować. Zwykle lepiej zachować dodatkowe cyfry do końca, a potem zaokrąglić tylko raz.

Stosowanie jednej zasady do każdego działania

Przy mnożeniu i dzieleniu stosuje się najmniejszą liczbę cyfr znaczących. Przy dodawaniu i odejmowaniu stosuje się najmniej dokładne miejsce po przecinku. Mieszanie tych zasad to jeden z najczęstszych błędów.

Kiedy używa się cyfr znaczących

Cyfry znaczące pojawiają się wszędzie tam, gdzie liczby pochodzą z pomiaru, a nie z dokładnego zliczania.

Typowe przypadki to:

• dane laboratoryjne z chemii i fizyki
• zmierzone długości, masy, czasy i temperatury
• obliczenia inżynierskie, w których ważna jest podawana dokładność
• zapis naukowy, zwłaszcza gdy trzeba jasno pokazać dokładność

Jeśli liczba jest dokładna, na przykład $12$ przedmiotów w pudełku albo zdefiniowany współczynnik przeliczeniowy, nie ogranicza dokładności wyniku końcowego. To ważny warunek: zasady cyfr znaczących dotyczą wartości mierzonych, a nie dokładnych zliczeń.

Szybki sposób na sprawdzenie odpowiedzi

Po zakończeniu obliczenia zadaj sobie dwa pytania:

1. Która dana wejściowa była najmniej dokładna?
2. Czy mój wynik końcowy pokazuje większą dokładność, niż pozwala na to ta dana?

Jeśli odpowiedź na drugie pytanie brzmi tak, zaokrąglij jeszcze raz.

Spróbuj podobnego zadania

Spróbuj policzyć cyfry znaczące w $0.04050$, a następnie zdecyduj, ile cyfr znaczących powinno pozostać w iloczynie

$$2.31 \times 0.04050$$

Jeśli chcesz zrobić kolejny przydatny krok, spróbuj własnej wersji z zapisem naukowym, gdzie liczba cyfr znaczących jest często łatwiejsza do zauważenia.