Anlamlı Basamaklar

Anlamlı basamaklar, ölçülen bir değerin ne kadar hassas olduğunu gösterir. Güvenle bilinen rakamları ve ölçümden tahmin edilen son bir rakamı içerir.

Bu yüzden $12.3\ \mathrm{cm}$ ile $12.30\ \mathrm{cm}$, ondalık olarak eşit olsalar da aynı hassasiyeti ifade etmez. İkinci sayı, daha küçük bir basamak değerine kadar hassasiyet bildirir.

Anlamlı Basamaklar Ne Anlama Gelir

Anlamlı basamaklar, bir sayının ne kadar büyük olduğu ile ilgili değildir. Sayının ne kadar dikkatli ölçüldüğü veya raporlandığı ile ilgilidir.

Örneğin:

• $45.7$ sayısının $3$ anlamlı basamağı vardır.
• $0.0045$ sayısının $2$ anlamlı basamağı vardır.
• $1002$ sayısının $4$ anlamlı basamağı vardır çünkü sıfırlar sıfır olmayan rakamların arasındadır.
• $3.400$ sayısının $4$ anlamlı basamağı vardır çünkü ondalık noktadan sonraki sondaki sıfırlar ölçülen hassasiyeti gösterir.

Hataların çoğu sıfırlardan kaynaklanır. Bir sıfır, yalnızca ölçülen hassasiyeti göstermeye yardımcı oluyorsa sayılır.

Anlamlı Basamaklar Nasıl Sayılır

Bu kurallar sınıftaki çoğu durumu kapsar:

1. Sıfır olmayan rakamlar her zaman anlamlıdır.
2. Sıfır olmayan rakamlar arasındaki sıfırlar anlamlıdır.
3. Baştaki sıfırlar anlamlı değildir.
4. Ondalık noktanın sağındaki sondaki sıfırlar genellikle anlamlıdır.
5. Tam sayıdaki sondaki sıfırlar, gösterim hassasiyeti açıkça belirtmiyorsa belirsiz olabilir.

Bu son nokta önemlidir. $1500$ sayısı tek başına, son iki sıfırın ölçülmüş olup olmadığını ya da yalnızca yer tutucu olup olmadığını her zaman göstermez. Bilimsel gösterim bu belirsizliği ortadan kaldırır:

$$1.5 \times 10^3$$

ifadesinin $2$ anlamlı basamağı vardır, buna karşılık

$$1.500 \times 10^3$$

ifadesinin $4$ anlamlı basamağı vardır.

Çözümlü Örnek: Anlamlı Basamaklarla Çarpma

Şöyle bir çarpma yaptığınızı düşünün:

$$4.56 \times 1.4$$

Önce doğrudan çarpımı yapın:

$$4.56 \times 1.4 = 6.384$$

Şimdi sonucun kaç anlamlı basamak içermesi gerektiğine karar verin:

• $4.56$ sayısının $3$ anlamlı basamağı vardır.
• $1.4$ sayısının $2$ anlamlı basamağı vardır.

Çarpmada sonuç, en az anlamlı basamağa sahip çarpan kadar anlamlı basamak içermelidir. Burada bu, $2$ anlamlı basamak demektir.

Dolayısıyla

$$6.384 \approx 6.4$$

Bildirilen sonuç

$$6.4$$

Anlamlı basamakların temel fikri budur: cevabınız, başladığınız ölçümlerden daha fazla hassasiyet iddia etmemelidir.

Toplama ve Çıkarma Neden Farklı Bir Kural Kullanır

Toplama ve çıkarmada sınırlayıcı fikir, yalnızca toplam anlamlı basamak sayısı değil, ondalık basamaktır.

Örneğin:

$$12.11 + 0.3 = 12.41$$

Ama $0.3$ yalnızca onda birler basamağına kadar hassastır, bu yüzden son cevap da onda birler basamağına kadar verilmelidir:

$$12.41 \approx 12.4$$

Burada çarpma kuralını kullanırsanız yanlış yuvarlayabilirsiniz. Hangi işlemi yaptığınız, hangi yuvarlama kuralını kullanacağınızı belirler.

Anlamlı Basamaklarla İlgili Yaygın Hatalar

Baştaki sıfırları saymak

$0.0028$ sayısında sıfırlar yalnızca ondalık noktayı kaydırır. Yalnızca $2$ ve $8$ anlamlıdır, bu yüzden sayının $2$ anlamlı basamağı vardır.

Her sondaki sıfıra aynı şekilde davranmak

$3.40$ sayısında sıfır anlamlıdır çünkü onda birler basamağının ötesinde ölçülen hassasiyeti gösterir. $3400$ sayısında ise sondaki sıfırlar, bağlam veya gösterim bunu açıkça belirtmedikçe anlamlı olabilir de olmayabilir de.

Çok erken yuvarlamak

Daha uzun bir hesaplamanın ortasında yuvarlama yaparsanız, küçük yuvarlama değişiklikleri birikebilir. Genellikle sona kadar fazladan basamakları korumak, sonra bir kez yuvarlamak daha iyidir.

Her işlem için tek bir kural kullanmak

Çarpma ve bölmede en az anlamlı basamak sayısı kullanılır. Toplama ve çıkarmada ise en düşük hassasiyetli ondalık basamak kullanılır. Bu kuralları karıştırmak en yaygın hatalardan biridir.

Anlamlı Basamaklar Ne Zaman Kullanılır

Anlamlı basamaklar, sayılar tam sayımdan değil ölçümden geldiğinde karşınıza çıkar.

Yaygın durumlar şunlardır:

• kimya ve fizikte laboratuvar verileri
• ölçülmüş uzunluklar, kütleler, süreler ve sıcaklıklar
• bildirilen hassasiyetin önemli olduğu mühendislik hesaplamaları
• özellikle hassasiyeti açıkça göstermeniz gerektiğinde bilimsel gösterim

Bir sayı tam ise, örneğin bir kutudaki $12$ nesne ya da tanımlı bir dönüşüm katsayısı gibi, sonucun hassasiyetini sınırlamaz. Bu koşul önemlidir: anlamlı basamak kuralları tam sayılara değil, ölçülmüş değerlere uygulanır.

Cevabınızı Kontrol Etmenin Hızlı Bir Yolu

Bir hesaplamayı bitirdikten sonra iki soru sorun:

1. Hangi girdi en düşük hassasiyete sahipti?
2. Son cevabım, bu girdinin desteklediğinden daha fazla hassasiyet mi gösteriyor?

İkinci sorunun cevabı evetse, yeniden yuvarlayın.

Benzer Bir Soru Deneyin

$0.04050$ sayısındaki anlamlı basamakları saymayı deneyin, ardından şu çarpımda kaç anlamlı basamak kalması gerektiğine karar verin:

$$2.31 \times 0.04050$$

Yararlı bir sonraki adım isterseniz, bilimsel gösterimle kendi örneğinizi deneyin; burada anlamlı basamak sayısını görmek çoğu zaman daha kolaydır.