Σημαντικά ψηφία

Τα σημαντικά ψηφία δείχνουν πόσο ακριβής είναι μια μετρούμενη τιμή. Περιλαμβάνουν τα ψηφία που είναι γνωστά με βεβαιότητα, συν ένα τελευταίο ψηφίο που εκτιμάται από τη μέτρηση.

Γι’ αυτό τα $12.3\ \mathrm{cm}$ και $12.30\ \mathrm{cm}$ δεν εκφράζουν την ίδια ακρίβεια, παρόλο που είναι ίσα ως δεκαδικοί αριθμοί. Ο δεύτερος αριθμός δηλώνει ακρίβεια σε μικρότερη δεκαδική θέση.

Τι σημαίνουν τα σημαντικά ψηφία

Τα σημαντικά ψηφία δεν αφορούν το πόσο μεγάλος είναι ένας αριθμός. Αφορούν το πόσο προσεκτικά μετρήθηκε ή καταγράφηκε.

Για παράδειγμα:

• Το $45.7$ έχει $3$ σημαντικά ψηφία.
• Το $0.0045$ έχει $2$ σημαντικά ψηφία.
• Το $1002$ έχει $4$ σημαντικά ψηφία, επειδή τα μηδενικά βρίσκονται ανάμεσα σε μη μηδενικά ψηφία.
• Το $3.400$ έχει $4$ σημαντικά ψηφία, επειδή τα τελικά μηδενικά μετά την υποδιαστολή δείχνουν μετρημένη ακρίβεια.

Τα περισσότερα λάθη προέρχονται από τα μηδενικά. Ένα μηδενικό μετρά μόνο όταν βοηθά να φανεί η μετρημένη ακρίβεια.

Πώς να μετράς τα σημαντικά ψηφία

Αυτοί οι κανόνες καλύπτουν τις περισσότερες περιπτώσεις στην τάξη:

1. Τα μη μηδενικά ψηφία είναι πάντα σημαντικά.
2. Τα μηδενικά ανάμεσα σε μη μηδενικά ψηφία είναι σημαντικά.
3. Τα αρχικά μηδενικά δεν είναι σημαντικά.
4. Τα τελικά μηδενικά στα δεξιά της υποδιαστολής είναι συνήθως σημαντικά.
5. Τα τελικά μηδενικά σε έναν ακέραιο αριθμό μπορεί να είναι αμφίσημα, εκτός αν η γραφή δείχνει καθαρά την ακρίβεια.

Αυτό το τελευταίο σημείο έχει σημασία. Ο αριθμός $1500$ από μόνος του δεν δείχνει πάντα αν τα δύο τελευταία μηδενικά μετρήθηκαν ή αν είναι απλώς ψηφία θέσης. Η επιστημονική γραφή αφαιρεί αυτή την ασάφεια:

$$1.5 \times 10^3$$

έχει $2$ σημαντικά ψηφία, ενώ

$$1.500 \times 10^3$$

έχει $4$ σημαντικά ψηφία.

Λυμένο παράδειγμα: Πολλαπλασιασμός με σημαντικά ψηφία

Ας υποθέσουμε ότι πολλαπλασιάζεις

$$4.56 \times 1.4$$

Πρώτα κάνε τον απλό πολλαπλασιασμό:

$$4.56 \times 1.4 = 6.384$$

Τώρα αποφάσισε πόσα σημαντικά ψηφία πρέπει να έχει η τελική απάντηση:

• Το $4.56$ έχει $3$ σημαντικά ψηφία.
• Το $1.4$ έχει $2$ σημαντικά ψηφία.

Στον πολλαπλασιασμό, το αποτέλεσμα πρέπει να έχει τον ίδιο αριθμό σημαντικών ψηφίων με τον παράγοντα που έχει τα λιγότερα σημαντικά ψηφία. Εδώ αυτό σημαίνει $2$ σημαντικά ψηφία.

Άρα

$$6.384 \approx 6.4$$

Το αναφερόμενο αποτέλεσμα είναι

$$6.4$$

Αυτή είναι η βασική ιδέα των σημαντικών ψηφίων: η απάντησή σου δεν πρέπει να ισχυρίζεται μεγαλύτερη ακρίβεια από τις μετρήσεις με τις οποίες ξεκίνησες.

Γιατί η πρόσθεση και η αφαίρεση χρησιμοποιούν διαφορετικό κανόνα

Στην πρόσθεση και την αφαίρεση, το καθοριστικό στοιχείο είναι η δεκαδική θέση και όχι απλώς ο συνολικός αριθμός σημαντικών ψηφίων.

Για παράδειγμα:

$$12.11 + 0.3 = 12.41$$

Όμως το $0.3$ είναι ακριβές μόνο μέχρι τα δέκατα, άρα και η τελική απάντηση πρέπει να δοθεί μέχρι τα δέκατα:

$$12.41 \approx 12.4$$

Αν χρησιμοποιήσεις εδώ τον κανόνα του πολλαπλασιασμού, μπορεί να στρογγυλοποιήσεις λάθος. Η πράξη καθορίζει τον κανόνα στρογγυλοποίησης.

Συνηθισμένα λάθη με τα σημαντικά ψηφία

Μέτρηση αρχικών μηδενικών

Στο $0.0028$, τα μηδενικά απλώς μετακινούν την υποδιαστολή. Μόνο το $2$ και το $8$ είναι σημαντικά, άρα ο αριθμός έχει $2$ σημαντικά ψηφία.

Αντιμετώπιση όλων των τελικών μηδενικών με τον ίδιο τρόπο

Στο $3.40$, το μηδενικό είναι σημαντικό επειδή δείχνει μετρημένη ακρίβεια πέρα από τα δέκατα. Στο $3400$, τα τελικά μηδενικά μπορεί να είναι ή να μην είναι σημαντικά, εκτός αν αυτό φαίνεται καθαρά από τα συμφραζόμενα ή τη γραφή.

Πολύ πρόωρη στρογγυλοποίηση

Αν στρογγυλοποιήσεις στη μέση ενός μεγαλύτερου υπολογισμού, μικρές αλλαγές από τη στρογγυλοποίηση μπορεί να συσσωρευτούν. Συνήθως είναι καλύτερο να κρατάς επιπλέον ψηφία μέχρι το τέλος και μετά να στρογγυλοποιείς μία φορά.

Χρήση ενός κανόνα για κάθε πράξη

Ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση χρησιμοποιούν τα λιγότερα σημαντικά ψηφία. Η πρόσθεση και η αφαίρεση χρησιμοποιούν τη λιγότερο ακριβή δεκαδική θέση. Η σύγχυση αυτών των κανόνων είναι ένα από τα πιο συνηθισμένα λάθη.

Πότε χρησιμοποιούνται τα σημαντικά ψηφία

Τα σημαντικά ψηφία εμφανίζονται κάθε φορά που οι αριθμοί προέρχονται από μέτρηση και όχι από ακριβή καταμέτρηση.

Συνηθισμένες περιπτώσεις είναι:

• εργαστηριακά δεδομένα στη χημεία και τη φυσική
• μετρημένα μήκη, μάζες, χρόνοι και θερμοκρασίες
• υπολογισμοί στη μηχανική όπου η δηλωμένη ακρίβεια έχει σημασία
• επιστημονική γραφή, ειδικά όταν χρειάζεται να δείξεις καθαρά την ακρίβεια

Αν ένας αριθμός είναι ακριβής, όπως $12$ αντικείμενα σε ένα κουτί ή ένας καθορισμένος συντελεστής μετατροπής, δεν περιορίζει την ακρίβεια της τελικής απάντησης. Αυτή η συνθήκη έχει σημασία: οι κανόνες των σημαντικών ψηφίων εφαρμόζονται σε μετρούμενες τιμές, όχι σε ακριβείς μετρήσεις πλήθους.

Ένας γρήγορος τρόπος να ελέγξεις την απάντησή σου

Αφού ολοκληρώσεις έναν υπολογισμό, κάνε στον εαυτό σου δύο ερωτήσεις:

1. Ποια είσοδος ήταν η λιγότερο ακριβής;
2. Δείχνει η τελική μου απάντηση μεγαλύτερη ακρίβεια από όση υποστηρίζει αυτή η είσοδος;

Αν η απάντηση στη δεύτερη ερώτηση είναι ναι, στρογγυλοποίησε ξανά.

Δοκίμασε ένα παρόμοιο πρόβλημα

Δοκίμασε να μετρήσεις τα σημαντικά ψηφία στο $0.04050$ και μετά αποφάσισε πόσα σημαντικά ψηφία πρέπει να παραμείνουν στο γινόμενο

$$2.31 \times 0.04050$$

Αν θέλεις ένα χρήσιμο επόμενο βήμα, δοκίμασε τη δική σου εκδοχή με επιστημονική γραφή, όπου ο αριθμός των σημαντικών ψηφίων είναι συχνά πιο εύκολο να φανεί.