Z-Score — วิธีคำนวณ

z-score บอกว่าค่าค่าหนึ่งอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยมากแค่ไหน โดยวัดเป็นหน่วยของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน จึงมีประโยชน์เมื่อคุณต้องการเปรียบเทียบคะแนนหนึ่งกับค่าที่เหลือในกลุ่ม ไม่ใช่ดูแค่ตัวเลขดิบเพียงอย่างเดียว

สูตรพื้นฐานคือ

$$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$

โดยที่ $x$ คือค่าที่สนใจ, $\mu$ คือค่าเฉลี่ย, และ $\sigma$ คือส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ถ้า $z$ เป็นบวก แปลว่าค่านั้นสูงกว่าค่าเฉลี่ย ถ้า $z$ เป็นลบ แปลว่าค่านั้นต่ำกว่าค่าเฉลี่ย และถ้า $z = 0$ แปลว่าค่านั้นอยู่ตรงกับค่าเฉลี่ยพอดี

วิธีคำนวณ Z-Score

ใช้ขั้นตอนต่อไปนี้:

1. เริ่มจากค่าที่สนใจ $x$
2. ลบค่าเฉลี่ยออก
3. หารด้วยส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

การคำนวณทั้งหมดมีแค่นี้เอง: เปลี่ยนระยะห่างดิบจากค่าเฉลี่ยให้เป็นระยะห่างแบบมาตรฐาน

ความหมายของสูตรแบบเข้าใจง่าย

ตัวเศษ $x - \mu$ บอกว่าค่านั้นอยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางเท่าไร ส่วนตัวส่วน $\sigma$ จะปรับระยะห่างนั้นตามการกระจายตัวโดยทั่วไปของข้อมูล

ดังนั้น z-score ไม่ได้บอกแค่ว่า “คะแนนนี้สูงกว่าค่าเฉลี่ย 14 คะแนน” แต่บอกด้วยว่า 14 คะแนนนั้นถือว่าห่างน้อยหรือห่างมากสำหรับชุดข้อมูลนั้น

ตัวอย่างการคำนวณ

สมมติว่าคะแนนสอบเป็น $84$ ค่าเฉลี่ยของห้องคือ $70$ และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานคือ $7$

แทนค่าลงในสูตร:

$$z = \frac{84 - 70}{7}$$

ลบก่อน:

$$84 - 70 = 14$$

จากนั้นหาร:

$$z = \frac{14}{7} = 2$$

ดังนั้น z-score คือ $2$ ซึ่งหมายความว่าคะแนนนี้สูงกว่าค่าเฉลี่ยอยู่ $2$ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

วิธีอ่านคำตอบแบบเร็ว

• $z = 1$ หมายถึงสูงกว่าค่าเฉลี่ย 1 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
• $z = -1.5$ หมายถึงต่ำกว่าค่าเฉลี่ย 1.5 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
• ค่าสัมบูรณ์ที่มากขึ้น เช่น $|z| = 3$ หมายถึงค่านั้นอยู่ค่อนข้างไกลจากค่าเฉลี่ย

การแปลผลนี้ใช้ได้ก็ต่อเมื่ออ้างอิงกับค่าเฉลี่ยและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานที่คุณใช้เท่านั้น ถ้าค่าเหล่านั้นเปลี่ยน z-score ก็จะเปลี่ยนตาม

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยอย่างหนึ่งคือเอาความแปรปรวนไปหารแทนส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน แต่ z-score ต้องใช้ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ไม่ใช่ความแปรปรวน

อีกข้อผิดพลาดคือมองข้ามเครื่องหมาย z-score ที่เป็น $-2$ ไม่เหมือนกับ $2$ ค่าแรกอยู่ต่ำกว่าค่าเฉลี่ย ส่วนค่าหลังอยู่สูงกว่าค่าเฉลี่ย

นอกจากนี้ยังสับสนข้อมูลจากคนละกลุ่มได้ง่าย คะแนนเดียวกันอาจมี z-score แบบหนึ่งในห้องเรียนหนึ่ง และมีอีกค่าในอีกห้องหนึ่งได้ ถ้าค่าเฉลี่ยหรือส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเปลี่ยนไป

คนมักใช้ Z-Scores เมื่อไร

z-score มีประโยชน์เมื่อคุณต้องการเปรียบเทียบค่าจากคนละสเกล สังเกตค่าที่สูงหรือต่ำผิดปกติ หรือเชื่อมข้อมูลดิบเข้ากับแบบจำลองการแจกแจงปกติ

การใช้งานแบบสุดท้ายนั้นมีเงื่อนไข: การแปลง z-score เป็นความน่าจะเป็นจะมีความหมายมากที่สุดเมื่อเหมาะที่จะใช้แบบจำลองปกติ หรือเมื่อโจทย์ระบุชัดเจนให้ใช้แบบจำลองนี้

ค่าของประชากร เทียบกับค่าของตัวอย่าง

ในสูตรสถิติหลายสูตร z-score มักเขียนด้วยสัญลักษณ์ของประชากร:

$$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$

ถ้าคุณมีเพียงค่าเฉลี่ยตัวอย่าง $\bar{x}$ และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวอย่าง $s$ คนก็มักทำให้เป็นมาตรฐานด้วย

$$\frac{x - \bar{x}}{s}$$

ขั้นตอนการคำนวณเหมือนกัน แต่การแปลผลขึ้นอยู่กับว่าค่าเหล่านั้นอธิบายประชากรทั้งหมด หรือเป็นเพียงตัวอย่างเท่านั้น

ลองทำด้วยตัวเอง

เลือกค่าหนึ่งค่า ค่าเฉลี่ยหนึ่งค่า และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานหนึ่งค่า จากนั้นคำนวณ z-score และอธิบายผลลัพธ์เป็นคำพูด ถ้าอยากลองกรณีที่มีประโยชน์ต่อไป ให้ทำโจทย์คล้ายกันที่ได้ z-score ติดลบ แล้วตรวจดูว่าการแปลผลของคุณยังสอดคล้องกับเครื่องหมายหรือไม่