Diện tích bề mặt hình nón — Công thức, đường sinh và ví dụ

Để tính diện tích bề mặt của hình nón, ta cộng diện tích đáy tròn với diện tích mặt bên cong. Với hình nón tròn xoay vuông góc có bán kính $r$ và đường sinh $l$, diện tích toàn phần là

$$A = \pi r^2 + \pi r l$$

Bạn cũng có thể viết công thức này dưới dạng

$$A = \pi r(r+l)$$

Ở đây, $\pi r^2$ là diện tích đáy và $\pi r l$ là diện tích mặt cong, hay diện tích xung quanh. Nếu đề bài chỉ hỏi diện tích xung quanh, hãy bỏ đi phần diện tích đáy.

Diện tích toàn phần và diện tích xung quanh

Một hình nón có hai phần bên ngoài: một đáy tròn và một mặt bên cong. Diện tích toàn phần nghĩa là tính cả hai phần đó.

Vì vậy công thức được tách thành

$$\text{diện tích toàn phần} = \text{diện tích đáy} + \text{diện tích xung quanh}$$ $$A = \pi r^2 + \pi r l$$

Nếu chỉ cần diện tích xung quanh, dùng

$$A = \pi r l$$

Công thức này áp dụng cho hình nón tròn xoay vuông góc. Trong hình học ở trường, đây thường là trường hợp mặc định nếu đề bài không nói khác.

Vì sao công thức dùng đường sinh

Công thức dùng đường sinh $l$, không dùng chiều cao vuông góc $h$. Đường sinh chạy dọc theo mặt bên của hình nón từ mép đáy đến đỉnh.

Nếu hình nón là hình nón tròn xoay vuông góc và bạn biết $r$ cùng $h$, thì có thể tìm đường sinh từ tam giác vuông bên trong hình nón:

$$l = \sqrt{r^2 + h^2}$$

Bước này đúng vì bán kính, chiều cao vuông góc và đường sinh tạo thành một tam giác vuông trong hình nón vuông góc.

Ví dụ giải chi tiết: bán kính $4$ cm, chiều cao $3$ cm

Giả sử một hình nón tròn xoay vuông góc có bán kính $4$ cm và chiều cao vuông góc $3$ cm. Vì công thức diện tích bề mặt cần đường sinh, trước hết hãy tính $l$:

$$l = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$$

Bây giờ dùng công thức diện tích toàn phần:

$$A = \pi r^2 + \pi r l$$

Thay $r = 4$ và $l = 5$:

$$A = \pi(4^2) + \pi(4)(5)$$ $$A = 16\pi + 20\pi = 36\pi$$

Vậy diện tích toàn phần chính xác là

$$36\pi\ \text{cm}^2$$

Nếu cần giá trị gần đúng thập phân,

$$36\pi \approx 113.1\ \text{cm}^2$$

Ví dụ này cũng là một cách kiểm tra tốt vì phần đáy đóng góp $16\pi$ và phần mặt cong đóng góp $20\pi$. Tổng của chúng là $36\pi$.

Những lỗi thường gặp khi làm bài diện tích bề mặt hình nón

Dùng chiều cao vuông góc trong công thức

Biểu thức $\pi r^2 + \pi r l$ dùng đường sinh. Nếu bạn thay $h$ vào chỗ của $l$, đáp án thường sẽ sai.

Quên xem có tính cả đáy hay không

Có bài yêu cầu diện tích toàn phần, có bài chỉ yêu cầu diện tích xung quanh. Diện tích toàn phần có tính đáy. Diện tích xung quanh thì không.

Nhầm giữa bán kính và đường kính

Nếu đề bài cho đường kính đáy, hãy chia cho $2$ trước khi dùng công thức. Ký hiệu $r$ luôn là bán kính.

Bỏ quên đơn vị vuông

Diện tích bề mặt đo phần phủ, nên đơn vị cuối cùng phải là đơn vị vuông như $\text{cm}^2$, $\text{m}^2$ hoặc $\text{in}^2$.

Khi nào dùng diện tích bề mặt hình nón

Bạn dùng diện tích bề mặt hình nón khi quan tâm đến lượng vật liệu phủ bên ngoài của một vật có dạng hình nón. Trong hình học, điều này thường xuất hiện trong các bài toán đo lường trong sách giáo khoa. Ngoài thực tế, nó có thể xuất hiện khi ước tính lượng giấy, kim loại, vải hoặc lớp phủ cho những vật có hình gần giống hình nón.

Điều kiện của bài toán cũng rất quan trọng. Nếu vật thể hở ở đáy, có thể chỉ cần diện tích xung quanh. Nếu vật thể không được mô hình hóa tốt bằng hình nón tròn xoay vuông góc, thì công thức chuẩn chỉ là gần đúng hoặc có thể không áp dụng trực tiếp.

Cách nhớ nhanh công thức

Hãy nghĩ: đáy cộng mặt bên.

$$\text{diện tích bề mặt hình nón} = \pi r^2 + \pi r l$$

Hạng tử đầu là hình tròn ở đáy. Hạng tử thứ hai là phần mặt cong bao quanh hình nón.

Thử một bài tương tự

Hãy tự làm một bài với bán kính $6$ cm và chiều cao vuông góc $8$ cm. Trước hết tìm đường sinh, rồi tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần. Nếu muốn kiểm tra thêm, hãy giải một bài tương tự bằng GPAI Solver.