Hình học 3D — Đường thẳng, Mặt phẳng và cosin chỉ phương

Hình học 3D nghiên cứu các điểm, đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Với đa số bài toán của học sinh, các ý chính khá đơn giản: một đường thẳng được cho bởi một điểm và một phương, một mặt phẳng được cho bởi một phương trình hoặc một vectơ pháp tuyến, còn cosin chỉ phương mô tả hướng của đường thẳng so với các trục tọa độ.

Nếu một đường thẳng có hướng tạo với các trục dương $x$, $y$ và $z$ các góc $\alpha$, $\beta$ và $\gamma$, thì cosin chỉ phương của nó là

$$l = \cos \alpha,\quad m = \cos \beta,\quad n = \cos \gamma$$

và chúng thỏa mãn

$$l^2 + m^2 + n^2 = 1$$

Có thể hình dung nhanh như sau: đường thẳng nghĩa là điểm cộng với phương, mặt phẳng là một ràng buộc phẳng, còn cosin chỉ phương là dạng chuẩn hóa của phương đó.

Phương trình đường thẳng và mặt phẳng trong hình học 3D

Nếu một đường thẳng đi qua $(x_1,y_1,z_1)$ và có tỉ số chỉ phương $(a,b,c)$, thì một dạng thuận tiện là

$$x = x_1 + at,\quad y = y_1 + bt,\quad z = z_1 + ct$$

trong đó $t$ là một tham số.

Nếu cả $a$, $b$ và $c$ đều khác $0$, bạn cũng có thể viết cùng đường thẳng đó dưới dạng chính tắc:

$$\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$$

Dạng này cần được xử lý cẩn thận nếu một trong các tỉ số chỉ phương bằng $0$.

Một mặt phẳng thường được viết là

$$ax + by + cz + d = 0$$

Ở đây, $(a,b,c)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. Nó cho biết mặt phẳng quay theo hướng nào, chứ không phải một phương nằm trong mặt phẳng.

Tỉ số chỉ phương và cosin chỉ phương

Tỉ số chỉ phương chỉ mô tả một phương theo tỉ lệ. Ví dụ, $(2,-1,2)$ và $(4,-2,4)$ cùng chỉ một hướng.

Để chuyển tỉ số chỉ phương $(a,b,c)$ thành cosin chỉ phương, hãy chia cho độ dài của vectơ chỉ phương đó:

$$l = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}},\quad m = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}},\quad n = \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$

Điều này chỉ có nghĩa khi $(a,b,c) \ne (0,0,0)$.

Ví dụ mẫu: tìm cosin chỉ phương và giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng

Giả sử một đường thẳng đi qua

$$P(1,2,0)$$

và có tỉ số chỉ phương

$$(2,-1,2)$$

Đồng thời, giả sử mặt phẳng là

$$x + y + z = 6$$

Trước hết, viết đường thẳng dưới dạng tham số:

$$x = 1 + 2t,\quad y = 2 - t,\quad z = 2t$$

Bây giờ tìm cosin chỉ phương. Độ dài của vectơ tỉ số chỉ phương là

$$\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3$$

Vậy cosin chỉ phương là

$$l = \frac{2}{3},\quad m = -\frac{1}{3},\quad n = \frac{2}{3}$$

Bạn có thể kiểm tra:

$$\left(\frac{2}{3}\right)^2 + \left(-\frac{1}{3}\right)^2 + \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 1$$

Bây giờ tìm nơi đường thẳng cắt mặt phẳng. Thay phương trình đường thẳng vào $x+y+z=6$:

$$(1+2t) + (2-t) + 2t = 6$$ $$3 + 3t = 6$$ $$t = 1$$

Vậy giao điểm là

$$(x,y,z) = (3,1,2)$$

Ví dụ này gắn các ý chính lại trong cùng một bài. Điểm $P$ cố định đường thẳng, tỉ số chỉ phương cho biết đường thẳng di chuyển như thế nào, cosin chỉ phương cho cùng hướng đó dưới dạng đơn vị, còn phương trình mặt phẳng giúp bạn tìm giao điểm.

Những lỗi thường gặp

Xem tỉ số chỉ phương như thể chúng đã được chuẩn hóa

Bộ ba $(2,-1,2)$ và $\left(\frac{2}{3},-\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right)$ cùng chỉ một hướng, nhưng chỉ bộ thứ hai là đã chuẩn hóa. Đẳng thức $l^2+m^2+n^2=1$ áp dụng cho cosin chỉ phương, không áp dụng cho tỉ số chỉ phương bất kỳ.

Dùng dạng chính tắc khi một mẫu số bằng $0$

Nếu một tỉ số chỉ phương bằng $0$, dạng chính tắc cần được xử lý đặc biệt. Trong trường hợp đó, dạng tham số thường an toàn hơn.

Nhầm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng với vectơ chỉ phương của đường thẳng

Trong $ax+by+cz+d=0$, vectơ $(a,b,c)$ vuông góc với mặt phẳng. Nói chung, nó không phải là một vectơ chỉ phương nằm trong mặt phẳng.

Quên điều kiện áp dụng công thức

Các công thức tính cosin chỉ phương từ $(a,b,c)$ chỉ đúng khi vectơ chỉ phương khác vectơ không. Vectơ không không xác định được hướng của đường thẳng.

Hình học 3D được dùng ở đâu

Bạn dùng khung kiến thức này bất cứ khi nào vị trí và hướng trong không gian là quan trọng. Trong toán học ở trường, nó xuất hiện trong hình học tọa độ và các bài toán vectơ. Trong ứng dụng thực tế, các ý tưởng tương tự xuất hiện trong đồ họa, robot, dẫn đường và cơ học khi cần mô tả chuyển động, giao điểm hoặc hướng trong không gian ba chiều.

Thử một bài tương tự

Giữ nguyên đường thẳng, nhưng đổi mặt phẳng thành

$$x + y + z = 9$$

Hãy tìm giá trị mới của $t$ và giao điểm mới. Nếu muốn kiểm tra kết quả sau khi tự giải, hãy thử một bài hình học 3D tương tự trong GPAI Solver.