เรขาคณิต 3 มิติ — เส้นตรง ระนาบ และโคไซน์บอกทิศทาง

เรขาคณิต 3 มิติศึกษาจุด เส้นตรง และระนาบในอวกาศ สำหรับโจทย์ของนักเรียนส่วนใหญ่ แนวคิดสำคัญมีไม่กี่อย่าง: เส้นตรงกำหนดได้ด้วยจุดหนึ่งจุดและทิศทางหนึ่งทิศทาง ระนาบกำหนดได้ด้วยสมการหรือเวกเตอร์ตั้งฉาก และโคไซน์บอกทิศทางใช้อธิบายแนวของเส้นตรงเมื่อเทียบกับแกนพิกัด

ถ้าเส้นตรงที่มีทิศทางทำมุม $\alpha$, $\beta$ และ $\gamma$ กับแกน $x$-, $y$- และ $z$- ด้านบวก โคไซน์บอกทิศทางของมันคือ

$$l = \cos \alpha,\quad m = \cos \beta,\quad n = \cos \gamma$$

และมีสมบัติว่า

$$l^2 + m^2 + n^2 = 1$$

ภาพรวมแบบสั้น ๆ คือ เส้นตรงหมายถึงจุดบวกทิศทาง ระนาบหมายถึงเงื่อนไขแบบแบนราบหนึ่งชุด และโคไซน์บอกทิศทางคือรูปแบบที่ทำให้ทิศทางนั้นเป็นหนึ่งหน่วย

สมการของเส้นตรงและระนาบในเรขาคณิต 3 มิติ

ถ้าเส้นตรงผ่าน $(x_1,y_1,z_1)$ และมีอัตราส่วนทิศทาง $(a,b,c)$ รูปแบบที่สะดวกแบบหนึ่งคือ

$$x = x_1 + at,\quad y = y_1 + bt,\quad z = z_1 + ct$$

โดยที่ $t$ เป็นพารามิเตอร์

ถ้า $a$, $b$ และ $c$ ไม่มีตัวใดเป็นศูนย์ คุณยังสามารถเขียนเส้นตรงเดียวกันในรูปสมมาตรได้เป็น

$$\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$$

รูปแบบนี้ต้องระวังเป็นพิเศษเมื่อมีอัตราส่วนทิศทางตัวใดตัวหนึ่งเป็น $0$

ระนาบมักเขียนเป็น

$$ax + by + cz + d = 0$$

ในที่นี้ $(a,b,c)$ เป็นเวกเตอร์ตั้งฉากกับระนาบ มันบอกว่าระนาบหันหน้าไปทางไหน ไม่ใช่ทิศทางที่อยู่ภายในระนาบ

อัตราส่วนทิศทางเทียบกับโคไซน์บอกทิศทาง

อัตราส่วนทิศทางบอกเพียงทิศทางโดยไม่สนขนาด ตัวอย่างเช่น $(2,-1,2)$ และ $(4,-2,4)$ ชี้ไปในทิศเดียวกัน

ถ้าต้องการแปลงอัตราส่วนทิศทาง $(a,b,c)$ ให้เป็นโคไซน์บอกทิศทาง ให้หารด้วยความยาวของเวกเตอร์ทิศทางนั้น:

$$l = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}},\quad m = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}},\quad n = \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$

สิ่งนี้มีความหมายก็ต่อเมื่อ $(a,b,c) \ne (0,0,0)$

ตัวอย่างทำโจทย์: หาโคไซน์บอกทิศทางและจุดตัดของเส้นตรงกับระนาบ

สมมติว่าเส้นตรงเส้นหนึ่งผ่านจุด

$$P(1,2,0)$$

และมีอัตราส่วนทิศทางเป็น

$$(2,-1,2)$$

และสมมติว่าระนาบคือ

$$x + y + z = 6$$

เริ่มจากเขียนเส้นตรงในรูปพารามิเตอร์:

$$x = 1 + 2t,\quad y = 2 - t,\quad z = 2t$$

ต่อไปหาโคไซน์บอกทิศทาง ความยาวของเวกเตอร์อัตราส่วนทิศทางคือ

$$\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3$$

ดังนั้นโคไซน์บอกทิศทางคือ

$$l = \frac{2}{3},\quad m = -\frac{1}{3},\quad n = \frac{2}{3}$$

คุณสามารถตรวจสอบได้ว่า

$$\left(\frac{2}{3}\right)^2 + \left(-\frac{1}{3}\right)^2 + \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 1$$

ตอนนี้หาว่าเส้นตรงตัดระนาบที่จุดใด แทนสมการเส้นตรงลงใน $x+y+z=6$:

$$(1+2t) + (2-t) + 2t = 6$$ $$3 + 3t = 6$$ $$t = 1$$

ดังนั้นจุดตัดคือ

$$(x,y,z) = (3,1,2)$$

ตัวอย่างนี้เชื่อมแนวคิดหลักทั้งหมดไว้ในที่เดียว จุด $P$ เป็นจุดยึดของเส้นตรง อัตราส่วนทิศทางบอกว่าเส้นตรงเคลื่อนที่อย่างไร โคไซน์บอกทิศทางให้ทิศเดียวกันในรูปหนึ่งหน่วย และสมการระนาบช่วยให้คุณหาจุดตัดได้

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

คิดว่าอัตราส่วนทิศทางเป็นค่าที่ทำให้เป็นหนึ่งหน่วยแล้ว

สามจำนวน $(2,-1,2)$ และ $\left(\frac{2}{3},-\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right)$ ชี้ไปในทิศเดียวกัน แต่มีเพียงชุดที่สองเท่านั้นที่ถูกทำให้เป็นหนึ่งหน่วยแล้ว สมการ $l^2+m^2+n^2=1$ ใช้กับโคไซน์บอกทิศทาง ไม่ใช่อัตราส่วนทิศทางทั่วไป

ใช้รูปสมมาตรเมื่อมีตัวส่วนเป็น $0$

ถ้าอัตราส่วนทิศทางตัวใดตัวหนึ่งเป็น $0$ รูปสมมาตรต้องจัดการอย่างระมัดระวัง ในกรณีนั้น รูปพารามิเตอร์มักปลอดภัยกว่า

สับสนระหว่างเวกเตอร์ตั้งฉากของระนาบกับทิศทางของเส้นตรง

ใน $ax+by+cz+d=0$ เวกเตอร์ $(a,b,c)$ ตั้งฉากกับระนาบ มันไม่ใช่เวกเตอร์ทิศทางที่อยู่ในระนาบโดยทั่วไป

ลืมเงื่อนไขที่สูตรใช้ได้

สูตรหาโคไซน์บอกทิศทางจาก $(a,b,c)$ ใช้ได้ก็ต่อเมื่อเวกเตอร์ทิศทางไม่เป็นศูนย์ เวกเตอร์ศูนย์ไม่สามารถกำหนดทิศทางของเส้นตรงได้

เรขาคณิต 3 มิติถูกใช้ที่ไหน

คุณใช้กรอบแนวคิดนี้ทุกครั้งที่ตำแหน่งและการวางแนวในอวกาศมีความสำคัญ ในคณิตศาสตร์ระดับโรงเรียน มันปรากฏในโจทย์เรขาคณิตพิกัดและเวกเตอร์ ส่วนในการประยุกต์ใช้ แนวคิดเดียวกันนี้พบได้ในกราฟิกส์ หุ่นยนต์ การนำทาง และกลศาสตร์ เมื่อต้องอธิบายการเคลื่อนที่ จุดตัด หรือการวางแนวในสามมิติ

ลองทำโจทย์ที่คล้ายกัน

คงเส้นตรงเดิมไว้ แต่เปลี่ยนระนาบเป็น

$$x + y + z = 9$$

จงหาค่าใหม่ของ $t$ และจุดตัดใหม่ ถ้าคุณอยากตรวจคำตอบหลังจากลองทำเองแล้ว ลองทำโจทย์เรขาคณิต 3 มิติที่คล้ายกันใน GPAI Solver