3차원 기하 — 직선, 평면과 방향코사인

3차원 기하는 공간에서의 점, 직선, 평면을 다룹니다. 학생들이 푸는 대부분의 문제에서는 핵심 아이디어가 단순합니다. 직선은 한 점과 한 방향으로 주어지고, 평면은 방정식이나 법선벡터로 주어지며, 방향코사인은 좌표축에 대한 직선의 방향을 설명합니다.

유향직선이 양의 $x$축, $y$축, $z$축과 각각 $\alpha$, $\beta$, $\gamma$의 각을 이룬다면, 그 방향코사인은

$$l = \cos \alpha,\quad m = \cos \beta,\quad n = \cos \gamma$$

이고, 다음을 만족합니다.

$$l^2 + m^2 + n^2 = 1$$

핵심만 간단히 말하면 이렇습니다. 직선은 점과 방향으로, 평면은 하나의 평평한 제약으로, 방향코사인은 그 방향을 정규화한 형태로 이해하면 됩니다.

3차원 기하에서 직선과 평면의 방정식

직선이 $(x_1,y_1,z_1)$을 지나고 방향비가 $(a,b,c)$이면, 편리한 표현 중 하나는

$$x = x_1 + at,\quad y = y_1 + bt,\quad z = z_1 + ct$$

이며, 여기서 $t$는 매개변수입니다.

$a$, $b$, $c$가 모두 0이 아니라면, 같은 직선을 대칭형으로도 쓸 수 있습니다.

$$\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$$

하지만 방향비 중 하나가 $0$이면 이 형태는 특별히 주의해서 다뤄야 합니다.

평면은 보통 다음과 같이 씁니다.

$$ax + by + cz + d = 0$$

여기서 $(a,b,c)$는 평면의 법선벡터입니다. 즉, 평면이 어느 방향을 향하는지를 알려 주는 벡터이지, 평면 안에 놓인 방향벡터는 아닙니다.

방향비와 방향코사인

방향비는 크기를 무시하고 방향만 나타냅니다. 예를 들어 $(2,-1,2)$와 $(4,-2,4)$는 같은 방향을 가리킵니다.

방향비 $(a,b,c)$를 방향코사인으로 바꾸려면, 그 방향벡터의 길이로 나누면 됩니다.

$$l = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}},\quad m = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}},\quad n = \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$

이 식은 $(a,b,c) \ne (0,0,0)$일 때만 의미가 있습니다.

예제: 방향코사인과 직선-평면의 교점 구하기

직선이 다음 점을 지난다고 합시다.

$$P(1,2,0)$$

그리고 방향비가

$$(2,-1,2)$$

라고 합시다.

또 평면이

$$x + y + z = 6$$

이라고 합시다.

먼저 직선을 매개변수형으로 쓰면

$$x = 1 + 2t,\quad y = 2 - t,\quad z = 2t$$

입니다.

이제 방향코사인을 구해 봅시다. 방향비 벡터의 길이는

$$\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3$$

이므로 방향코사인은

$$l = \frac{2}{3},\quad m = -\frac{1}{3},\quad n = \frac{2}{3}$$

입니다.

확인해 보면

$$\left(\frac{2}{3}\right)^2 + \left(-\frac{1}{3}\right)^2 + \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 1$$

이 됩니다.

이제 직선과 평면이 만나는 점을 구해 봅시다. 직선의 식을 $x+y+z=6$에 대입하면

$$(1+2t) + (2-t) + 2t = 6$$ $$3 + 3t = 6$$ $$t = 1$$

따라서 교점은

$$(x,y,z) = (3,1,2)$$

입니다.

이 예제는 핵심 개념들을 한 번에 연결해 줍니다. 점 $P$는 직선의 기준점이 되고, 방향비는 직선이 어떻게 움직이는지를 알려 주며, 방향코사인은 같은 방향을 단위 형태로 나타냅니다. 그리고 평면의 방정식을 이용하면 교점을 구할 수 있습니다.

자주 하는 실수

방향비를 정규화된 값처럼 다루는 경우

$(2,-1,2)$와 $\left(\frac{2}{3},-\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right)$는 같은 방향을 가리키지만, 정규화된 것은 두 번째뿐입니다. $l^2+m^2+n^2=1$이라는 식은 방향코사인에 대해서만 성립하며, 임의의 방향비에는 그대로 적용되지 않습니다.

분모가 $0$일 때 대칭형을 그대로 사용하는 경우

방향비 중 하나가 $0$이면 대칭형은 특별한 처리가 필요합니다. 이런 경우에는 보통 매개변수형이 더 안전합니다.

평면의 법선과 직선의 방향을 혼동하는 경우

$ax+by+cz+d=0$에서 $(a,b,c)$는 평면에 수직인 벡터입니다. 일반적으로 이것은 평면 위에 놓인 방향벡터가 아닙니다.

공식을 사용할 수 있는 조건을 잊는 경우

$(a,b,c)$로부터 방향코사인을 구하는 공식은 방향벡터가 영벡터가 아닐 때만 사용할 수 있습니다. 영벡터는 직선의 방향을 정하지 못합니다.

3차원 기하의 활용

이 틀은 공간에서 위치와 방향이 중요할 때마다 사용됩니다. 학교 수학에서는 좌표기하와 벡터 문제에서 자주 등장합니다. 실제 응용에서는 그래픽스, 로보틱스, 내비게이션, 역학 등에서 운동, 교점, 방향을 3차원으로 설명할 때 같은 아이디어가 쓰입니다.

비슷한 문제를 풀어 보세요

같은 직선을 유지하되, 평면을 다음과 같이 바꿔 보세요.

$$x + y + z = 9$$

새로운 $t$의 값과 새로운 교점을 구해 보세요. 스스로 풀어 본 뒤 결과를 확인하고 싶다면, GPAI Solver에서 비슷한 3차원 기하 문제를 풀어 보세요.