Géométrie dans l’espace — Droites, plans et cosinus directeurs

La géométrie dans l’espace étudie les points, les droites et les plans dans l’espace. Pour la plupart des exercices d’élèves, les idées essentielles sont simples : une droite est donnée par un point et une direction, un plan est donné par une équation ou un vecteur normal, et les cosinus directeurs décrivent l’orientation de la droite par rapport aux axes de coordonnées.

Si une droite orientée forme des angles $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ avec les axes positifs $x$, $y$ et $z$, ses cosinus directeurs sont

$$l = \cos \alpha,\quad m = \cos \beta,\quad n = \cos \gamma$$

et ils vérifient

$$l^2 + m^2 + n^2 = 1$$

L’idée essentielle est la suivante : une droite correspond à un point plus une direction, un plan correspond à une contrainte plane, et les cosinus directeurs sont la forme normalisée de cette direction.

Équation d’une droite et d’un plan en géométrie dans l’espace

Si une droite passe par $(x_1,y_1,z_1)$ et a pour rapports directeurs $(a,b,c)$, une forme pratique est

$$x = x_1 + at,\quad y = y_1 + bt,\quad z = z_1 + ct$$

où $t$ est un paramètre.

Si aucun de $a$, $b$ et $c$ n’est nul, on peut aussi écrire la même droite sous forme symétrique :

$$\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$$

Cette forme demande une attention particulière si l’un des rapports directeurs vaut $0$.

Un plan s’écrit souvent sous la forme

$$ax + by + cz + d = 0$$

Ici, $(a,b,c)$ est un vecteur normal au plan. Il indique l’orientation du plan, et non une direction contenue dans le plan.

Rapports directeurs vs cosinus directeurs

Les rapports directeurs décrivent seulement une direction à un facteur d’échelle près. Par exemple, $(2,-1,2)$ et $(4,-2,4)$ ont la même direction.

Pour convertir des rapports directeurs $(a,b,c)$ en cosinus directeurs, on divise par la norme de ce vecteur directeur :

$$l = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}},\quad m = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}},\quad n = \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$

Cela n’a de sens que lorsque $(a,b,c) \ne (0,0,0)$.

Exemple résolu : trouver les cosinus directeurs et l’intersection d’une droite avec un plan

Supposons qu’une droite passe par

$$P(1,2,0)$$

et ait pour rapports directeurs

$$(2,-1,2)$$

Supposons aussi que le plan soit

$$x + y + z = 6$$

Écrivons d’abord la droite sous forme paramétrique :

$$x = 1 + 2t,\quad y = 2 - t,\quad z = 2t$$

Trouvons maintenant les cosinus directeurs. La norme du vecteur des rapports directeurs est

$$\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3$$

Donc les cosinus directeurs sont

$$l = \frac{2}{3},\quad m = -\frac{1}{3},\quad n = \frac{2}{3}$$

On peut vérifier que :

$$\left(\frac{2}{3}\right)^2 + \left(-\frac{1}{3}\right)^2 + \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 1$$

Cherchons maintenant où la droite coupe le plan. On remplace les expressions de la droite dans $x+y+z=6$ :

$$(1+2t) + (2-t) + 2t = 6$$ $$3 + 3t = 6$$ $$t = 1$$

Le point d’intersection est donc

$$(x,y,z) = (3,1,2)$$

Cet exemple rassemble les idées principales en un seul endroit. Le point $P$ fixe la droite, les rapports directeurs indiquent comment la droite se déplace, les cosinus directeurs donnent la même direction sous forme unitaire, et l’équation du plan permet de trouver le point d’intersection.

Erreurs fréquentes

Traiter les rapports directeurs comme s’ils étaient normalisés

Les triplets $(2,-1,2)$ et $\left(\frac{2}{3},-\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right)$ ont la même direction, mais seul le second est normalisé. L’identité $l^2+m^2+n^2=1$ s’applique aux cosinus directeurs, pas à des rapports directeurs quelconques.

Utiliser la forme symétrique quand un dénominateur vaut $0$

Si l’un des rapports directeurs vaut $0$, la forme symétrique demande un traitement particulier. Dans ce cas, la forme paramétrique est généralement plus sûre.

Confondre la normale d’un plan avec la direction d’une droite

Dans $ax+by+cz+d=0$, le vecteur $(a,b,c)$ est perpendiculaire au plan. Ce n’est pas, en général, un vecteur directeur contenu dans le plan.

Oublier quand une formule est valable

Les formules des cosinus directeurs à partir de $(a,b,c)$ ne fonctionnent que lorsque le vecteur directeur est non nul. Un vecteur nul ne définit pas la direction d’une droite.

Où la géométrie dans l’espace est utilisée

On utilise ce cadre dès que la position et l’orientation dans l’espace comptent. En mathématiques scolaires, il apparaît dans les problèmes de géométrie analytique et de vecteurs. Dans les applications, on retrouve les mêmes idées en infographie, en robotique, en navigation et en mécanique lorsqu’il faut décrire un mouvement, des intersections ou une orientation en trois dimensions.

Essayez un problème similaire

Gardez la même droite, mais remplacez le plan par

$$x + y + z = 9$$

Trouvez la nouvelle valeur de $t$ et le nouveau point d’intersection. Si vous voulez vérifier votre résultat après avoir cherché vous-même, essayez un problème similaire de géométrie dans l’espace dans GPAI Solver.