Geometri 3D — Garis, Bidang & Kosinus Arah

Geometri 3D mempelajari titik, garis, dan bidang di dalam ruang. Untuk sebagian besar soal siswa, gagasan utamanya sederhana: garis ditentukan oleh sebuah titik dan sebuah arah, bidang ditentukan oleh sebuah persamaan atau vektor normal, dan kosinus arah menjelaskan orientasi garis terhadap sumbu-sumbu koordinat.

Jika sebuah garis berarah membentuk sudut $\alpha$, $\beta$, dan $\gamma$ dengan sumbu $x$, $y$, dan $z$ positif, maka kosinus arahnya adalah

$$l = \cos \alpha,\quad m = \cos \beta,\quad n = \cos \gamma$$

dan memenuhi

$$l^2 + m^2 + n^2 = 1$$

Gambaran singkatnya seperti ini: garis berarti titik ditambah arah, bidang berarti suatu kendala datar, dan kosinus arah adalah bentuk ternormalisasi dari arah tersebut.

Persamaan garis dan bidang dalam geometri 3D

Jika sebuah garis melalui $(x_1,y_1,z_1)$ dan memiliki rasio arah $(a,b,c)$, salah satu bentuk yang praktis adalah

$$x = x_1 + at,\quad y = y_1 + bt,\quad z = z_1 + ct$$

dengan $t$ sebagai parameter.

Jika $a$, $b$, dan $c$ semuanya tidak nol, Anda juga dapat menuliskan garis yang sama dalam bentuk simetris:

$$\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$$

Bentuk ini perlu perhatian khusus jika salah satu rasio arah bernilai $0$.

Sebuah bidang sering ditulis sebagai

$$ax + by + cz + d = 0$$

Di sini $(a,b,c)$ adalah vektor normal bidang. Vektor ini menunjukkan arah hadap bidang, bukan arah yang terletak di dalam bidang.

Rasio arah vs. kosinus arah

Rasio arah hanya menyatakan arah hingga faktor skala. Sebagai contoh, $(2,-1,2)$ dan $(4,-2,4)$ menunjuk ke arah yang sama.

Untuk mengubah rasio arah $(a,b,c)$ menjadi kosinus arah, bagi dengan panjang vektor arah tersebut:

$$l = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}},\quad m = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}},\quad n = \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$

Ini hanya bermakna jika $(a,b,c) \ne (0,0,0)$.

Contoh: mencari kosinus arah dan titik potong garis-bidang

Misalkan sebuah garis melalui

$$P(1,2,0)$$

dan memiliki rasio arah

$$(2,-1,2)$$

Misalkan juga bidangnya adalah

$$x + y + z = 6$$

Pertama, tulis garis dalam bentuk parametrik:

$$x = 1 + 2t,\quad y = 2 - t,\quad z = 2t$$

Sekarang cari kosinus arahnya. Panjang vektor rasio arah adalah

$$\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3$$

Jadi kosinus arahnya adalah

$$l = \frac{2}{3},\quad m = -\frac{1}{3},\quad n = \frac{2}{3}$$

Anda dapat memeriksa:

$$\left(\frac{2}{3}\right)^2 + \left(-\frac{1}{3}\right)^2 + \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 1$$

Sekarang cari titik perpotongan garis dengan bidang. Substitusikan garis ke dalam $x+y+z=6$:

$$(1+2t) + (2-t) + 2t = 6$$ $$3 + 3t = 6$$ $$t = 1$$

Jadi titik potongnya adalah

$$(x,y,z) = (3,1,2)$$

Contoh ini menghubungkan gagasan utama dalam satu tempat. Titik $P$ menjadi acuan garis, rasio arah menunjukkan bagaimana garis bergerak, kosinus arah memberikan arah yang sama dalam bentuk satuan, dan persamaan bidang memungkinkan Anda menemukan titik potong.

Kesalahan umum

Menganggap rasio arah sudah ternormalisasi

Tripel $(2,-1,2)$ dan $\left(\frac{2}{3},-\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right)$ menunjuk ke arah yang sama, tetapi hanya yang kedua yang ternormalisasi. Identitas $l^2+m^2+n^2=1$ berlaku untuk kosinus arah, bukan untuk sembarang rasio arah.

Menggunakan bentuk simetris saat penyebut bernilai $0$

Jika salah satu rasio arah bernilai $0$, bentuk simetris memerlukan penanganan khusus. Dalam kasus seperti itu, bentuk parametrik biasanya lebih aman.

Mencampuradukkan normal bidang dengan arah garis

Dalam $ax+by+cz+d=0$, vektor $(a,b,c)$ tegak lurus terhadap bidang. Vektor ini pada umumnya bukan vektor arah yang terletak di dalam bidang.

Lupa kapan suatu rumus boleh digunakan

Rumus kosinus arah dari $(a,b,c)$ hanya berlaku jika vektor arahnya tidak nol. Vektor nol tidak menentukan arah garis.

Di mana geometri 3D digunakan

Anda menggunakan kerangka ini setiap kali posisi dan orientasi di ruang menjadi penting. Dalam matematika sekolah, topik ini muncul dalam geometri koordinat dan soal vektor. Dalam penerapan, gagasan yang sama muncul dalam grafika, robotika, navigasi, dan mekanika saat Anda perlu mendeskripsikan gerak, perpotongan, atau orientasi dalam tiga dimensi.

Coba soal serupa

Gunakan garis yang sama, tetapi ubah bidang menjadi

$$x + y + z = 9$$

Carilah nilai baru $t$ dan titik potong yang baru. Jika Anda ingin memeriksa hasil setelah menyelesaikannya sendiri, coba soal geometri 3D serupa di GPAI Solver.