Geometria 3D — proste, płaszczyzny i cosinusy kierunkowe

Geometria 3D bada punkty, proste i płaszczyzny w przestrzeni. W większości zadań uczniowskich kluczowe idee są proste: prosta jest określona przez punkt i kierunek, płaszczyzna przez równanie lub wektor normalny, a cosinusy kierunkowe opisują orientację prostej względem osi układu współrzędnych.

Jeśli skierowana prosta tworzy kąty $\alpha$, $\beta$ i $\gamma$ z dodatnimi osiami $x$, $y$ i $z$, to jej cosinusy kierunkowe mają postać

$$l = \cos \alpha,\quad m = \cos \beta,\quad n = \cos \gamma$$

i spełniają warunek

$$l^2 + m^2 + n^2 = 1$$

Najkrócej można to ująć tak: prosta to punkt plus kierunek, płaszczyzna to płaskie ograniczenie, a cosinusy kierunkowe są znormalizowaną postacią tego kierunku.

Równanie prostej i płaszczyzny w geometrii 3D

Jeśli prosta przechodzi przez punkt $(x_1,y_1,z_1)$ i ma stosunki kierunkowe $(a,b,c)$, to jedną z wygodnych postaci jest

$$x = x_1 + at,\quad y = y_1 + bt,\quad z = z_1 + ct$$

gdzie $t$ jest parametrem.

Jeśli żadne z $a$, $b$ i $c$ nie jest równe zero, tę samą prostą można też zapisać w postaci symetrycznej:

$$\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$$

Ta postać wymaga szczególnej ostrożności, jeśli jeden ze stosunków kierunkowych jest równy $0$.

Płaszczyznę często zapisuje się jako

$$ax + by + cz + d = 0$$

Tutaj $(a,b,c)$ jest wektorem normalnym do płaszczyzny. Określa on, w którą stronę jest zwrócona płaszczyzna, a nie kierunek leżący w jej wnętrzu.

Stosunki kierunkowe a cosinusy kierunkowe

Stosunki kierunkowe opisują kierunek tylko z dokładnością do skali. Na przykład $(2,-1,2)$ i $(4,-2,4)$ wskazują ten sam kierunek.

Aby zamienić stosunki kierunkowe $(a,b,c)$ na cosinusy kierunkowe, podziel przez długość tego wektora kierunkowego:

$$l = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}},\quad m = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}},\quad n = \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$

Ma to sens tylko wtedy, gdy $(a,b,c) \ne (0,0,0)$.

Przykład rozwiązany: wyznacz cosinusy kierunkowe i punkt przecięcia prostej z płaszczyzną

Załóżmy, że prosta przechodzi przez punkt

$$P(1,2,0)$$

i ma stosunki kierunkowe

$$(2,-1,2)$$

Załóżmy też, że płaszczyzna ma równanie

$$x + y + z = 6$$

Najpierw zapiszmy prostą w postaci parametrycznej:

$$x = 1 + 2t,\quad y = 2 - t,\quad z = 2t$$

Teraz wyznaczmy cosinusy kierunkowe. Długość wektora stosunków kierunkowych wynosi

$$\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3$$

Zatem cosinusy kierunkowe to

$$l = \frac{2}{3},\quad m = -\frac{1}{3},\quad n = \frac{2}{3}$$

Możesz sprawdzić:

$$\left(\frac{2}{3}\right)^2 + \left(-\frac{1}{3}\right)^2 + \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 1$$

Teraz znajdźmy punkt przecięcia prostej z płaszczyzną. Podstawiamy prostą do równania $x+y+z=6$:

$$(1+2t) + (2-t) + 2t = 6$$ $$3 + 3t = 6$$ $$t = 1$$

Zatem punkt przecięcia to

$$(x,y,z) = (3,1,2)$$

Ten przykład łączy główne idee w jednym miejscu. Punkt $P$ wyznacza prostą, stosunki kierunkowe mówią, jak porusza się prosta, cosinusy kierunkowe podają ten sam kierunek w postaci jednostkowej, a równanie płaszczyzny pozwala znaleźć punkt przecięcia.

Typowe błędy

Traktowanie stosunków kierunkowych tak, jakby były znormalizowane

Trójki $(2,-1,2)$ oraz $\left(\frac{2}{3},-\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right)$ wskazują ten sam kierunek, ale tylko druga z nich jest znormalizowana. Tożsamość $l^2+m^2+n^2=1$ dotyczy cosinusów kierunkowych, a nie dowolnych stosunków kierunkowych.

Używanie postaci symetrycznej, gdy jeden mianownik jest równy $0$

Jeśli jeden stosunek kierunkowy jest równy $0$, postać symetryczna wymaga szczególnego traktowania. W takim przypadku postać parametryczna jest zwykle bezpieczniejsza.

Mylenie wektora normalnego płaszczyzny z kierunkiem prostej

W równaniu $ax+by+cz+d=0$ wektor $(a,b,c)$ jest prostopadły do płaszczyzny. Na ogół nie jest to wektor kierunkowy leżący w płaszczyźnie.

Zapominanie, kiedy wolno użyć wzoru

Wzory na cosinusy kierunkowe wyznaczane z $(a,b,c)$ działają tylko wtedy, gdy wektor kierunkowy jest niezerowy. Wektor zerowy nie wyznacza kierunku prostej.

Gdzie wykorzystuje się geometrię 3D

Tego schematu używa się zawsze wtedy, gdy w przestrzeni liczy się położenie i orientacja. W matematyce szkolnej pojawia się on w geometrii analitycznej i zadaniach z wektorów. W zastosowaniach te same idee występują w grafice, robotyce, nawigacji i mechanice, gdy trzeba opisać ruch, przecięcia lub orientację w trzech wymiarach.

Spróbuj podobnego zadania

Zachowaj tę samą prostą, ale zmień płaszczyznę na

$$x + y + z = 9$$

Wyznacz nową wartość $t$ i nowy punkt przecięcia. Jeśli chcesz sprawdzić swój wynik po samodzielnym rozwiązaniu, spróbuj podobnego zadania z geometrii 3D w GPAI Solver.