Kümülatif Frekans — Ogiv Eğrisi ve Yüzdelikler

Kümülatif frekans, bir frekans tablosundaki ardışık toplamdır. Belirli bir değerde veya sınıf sınırında ya da onun altında kaç gözlem olduğunu gösterir. Bu yüzden medyanı, çeyreklikleri ve yüzdelikleri bulmada kullanışlıdır.

Ogiv, bu ardışık toplamın grafiğidir. Tabloyu ve grafiği birlikte okumayı öğrendiğinizde, gruplanmış veri soruları çok daha kolay hale gelir.

Kümülatif Frekans Tanımı

Sınıf frekansları $f_1, f_2, \dots, f_k$ ise, $k$. sınıfa kadar olan kümülatif frekans

$$F_k = f_1 + f_2 + \cdots + f_k$$

şeklindedir.

Her satır toplamın içine bir sınıf daha ekler. Bir sınıfın sonunda kümülatif frekans $28$ ise, bu sınıfta veya daha altındaki sınıflarda $28$ gözlem vardır.

Gruplanmamış verilerde kümülatif frekans sadece ardışık sayımdır. Gruplanmış verilerde ise sınıf aralıklarına göre yapılan ardışık sayımdır.

Ogiv Yüzdelikleri Okumada Nasıl Yardımcı Olur?

Ogiv, kümülatif frekansı sınıf sınırlarına karşı çizer. Gruplanmış sürekli veriler için genellikle şunlar çizilir:

• yatay eksende üst sınıf sınırı
• dikey eksende kümülatif frekans

Daha sonra noktalar düzgün bir eğriyle veya parçalı bir çizgiyle birleştirilir. Eğri yükselir çünkü kümülatif frekans asla azalmaz.

Ogivin temel kullanım amacı, sıralanmış veri kümesindeki konumları okumaktır. Toplam frekans $N$ ise:

• medyan yaklaşık $N/2$. değerdir
• birinci çeyrek yaklaşık $N/4$. değerdir
• üçüncü çeyrek yaklaşık $3N/4$. değerdir
• $p$'inci yüzdelik yaklaşık $(p/100)N$. değerdir

Grafikte önce bu dikey konumdan başlarsınız, ogive doğru yatay ilerlersiniz, sonra değeri tahmin etmek için aşağıya yatay eksene inersiniz.

Çözümlü Örnek: Medyan ve 75. Yüzdelik

$40$ öğrencinin sınav puanlarının şu şekilde gruplandığını düşünelim:

Puan	Frekans	Kümülatif frekans
0-10	$2$	$2$
10-20	$5$	$7$
20-30	$9$	$16$
30-40	$12$	$28$
40-50	$8$	$36$
50-60	$4$	$40$

Toplam frekans $N = 40$'tır.

Tablodan medyanı bulma

Medyan, $N/2 = 20$. değerdir.

Kümülatif frekanslara bakalım:

• 20-30'a kadar toplam $16$'dır
• 30-40'a kadar toplam $28$'dir

Demek ki $20$. değer, $30$-$40$ sınıfındadır.

Gruplanmış veri için bir tahmin istiyorsanız, yalnızca değerlerin bu sınıf boyunca oldukça eşit dağıldığını kabul etmek makulse interpolasyon kullanın. O zaman

$$\text{median} \approx L + \frac{N/2 - F_{\text{before}}}{f} \cdot w$$

Burada:

• $L = 30$ sınıfın alt sınırıdır
• $F_{\text{before}} = 16$ sınıftan önceki kümülatif frekanstır
• $f = 12$ sınıf frekansıdır
• $w = 10$ sınıf genişliğidir

Dolayısıyla

$$\text{median} \approx 30 + \frac{20 - 16}{12} \cdot 10 = 30 + \frac{40}{12} \approx 33.3$$

Bu tahmin tam değildir. $30$-$40$ sınıfı içindeki değerlerin oldukça düzgün dağıldığı varsayımına dayanır.

75. yüzdeliği tahmin etme

$75$. yüzdelik, $(75/100) \cdot 40 = 30$. değerdir.

Kümülatif frekanslardan:

• 30-40'a kadar toplam $28$'dir
• 40-50'ye kadar toplam $36$'dır

Demek ki $30$. değer, $40$-$50$ sınıfındadır.

Aynı interpolasyon fikrini kullanırsak,

$$P_{75} \approx 40 + \frac{30 - 28}{8} \cdot 10 = 42.5$$

Bir ogiv üzerinde, kümülatif frekans ekseninde $30$'u işaretler, eğriye doğru yatay ilerler ve sonra puan ekseninde yaklaşık $42.5$ değerine aşağı inerek okursunuz.

Kümülatif Frekansta Sık Yapılan Hatalar

Frekans ile kümülatif frekansı karıştırmak

Frekans, tek bir sınıfta kaç gözlem olduğunu söyler. Kümülatif frekans ise o sınıftaki ve ondan önceki tüm sınıflardaki gözlemlerin toplamını verir.

Yanlış konumu kullanmak

Medyan veya bir yüzdelik için konum, toplam frekans $N$ üzerinden bulunur. Yanlış toplamı kullanırsanız, sonraki tüm adımlar da yanlış olur.

Gruplanmış tahminleri tam değer sanmak

Bir ogiv veya interpolasyon, sınıf içindeki bir tahmini verir; tam bir özgün veri değeri vermez. Bu tahmin, verilerin aralık içinde nasıl dağıldığına bağlıdır.

Yatay eksende yanlış değerleri çizmek

Gruplanmış verilerde ogivler genellikle sınıf sınırlarına, özellikle de üst sınıf sınırlarına göre çizilir. Sınıf orta noktalarına göre çizmek anlamı değiştirir.

Kümülatif Frekans Ne Zaman Kullanılır?

Kümülatif frekans, veri kümesinde yalnızca sınıf bazlı sayılar yerine sıralı konuma ihtiyaç duyduğunuz her durumda kullanılır. Buna sınav puanı özetleri, gelir dağılımları, kalite kontrol verileri ve yüzdeliklerin veya medyanın tek tek sınıf sayılarından daha önemli olduğu her durum dahildir.

Özellikle ham veriler çok büyük olduğunda ve gruplanmış bir tablo uzun bir gözlem listesinden daha kolay okunabildiğinde çok yararlıdır.

Benzer Bir Kümülatif Frekans Sorusu Deneyin

Herhangi bir küçük gruplanmış tablo alın ve ogiv çizmeden önce bir kümülatif frekans sütunu ekleyin. Sonra grafikten medyanı ve bir yüzdeliği okuyun ve bunları tablodan elde edilen tahminle karşılaştırın.

Bir kontrol daha yapmak isterseniz, $N = 50$ için kendi örneğinizi kurun ve $20$., $25$. ve $45$. değerlerin hangi sınıflara düşeceğini sorun. Bu, fikrin akılda kalmasını sağlayan basit bir yoldur.