累积频数——累计频数曲线与百分位数

累积频数就是频数表中的逐步累加总和。它告诉你有多少个观测值小于或等于某个数值或组界，因此在求中位数、四分位数和百分位数时非常有用。

累计频数曲线就是把这个累加总和画成图像。只要你能结合频数表和图像一起看，分组数据题就会容易得多。

累积频数的定义

如果各组频数为 $f_1, f_2, \dots, f_k$，那么到第 $k$ 组为止的累积频数是

$$F_k = f_1 + f_2 + \cdots + f_k$$

每一行都会把新的一组加入总和中。如果某一组结束时的累积频数是 $28$，那么说明有 $28$ 个观测值落在这一组或更小的组中。

对于未分组数据，累积频数就是一个逐步累加的计数。对于分组数据，它则是按组距进行的逐步累加计数。

累计频数曲线如何帮助读取百分位数

累计频数曲线是在组界与累积频数之间作图。对于连续型分组数据，通常绘制的是：

• 横轴取上组界
• 纵轴取累积频数

然后用平滑曲线或分段线把这些点连接起来。由于累积频数不会减少，所以曲线一定是上升的。

累计频数曲线的主要用途，是读取有序数据中的位置。如果总频数是 $N$，那么：

• 中位数大约是第 $N/2$ 个值
• 第一四分位数大约是第 $N/4$ 个值
• 第三四分位数大约是第 $3N/4$ 个值
• 第 $p$ 个百分位数大约是第 $(p/100)N$ 个值

在图上，你先从这个纵向位置出发，水平移动到累计频数曲线，再向下投影到横轴来估计对应的数值。

例题：中位数与第 75 百分位数

假设 $40$ 名学生的测试成绩分组如下：

分数	频数	累积频数
0-10	$2$	$2$
10-20	$5$	$7$
20-30	$9$	$16$
30-40	$12$	$28$
40-50	$8$	$36$
50-60	$4$	$40$

总频数为 $N = 40$。

从表中求中位数

中位数是第 $N/2 = 20$ 个值。

观察累积频数：

• 到 20-30 为止，总数是 $16$
• 到 30-40 为止，总数是 $28$

所以第 $20$ 个值落在 $30$-$40$ 这一组中。

如果你想对分组数据作估计，只有在把该组内数据看作分布较均匀时，才适合使用插值法。此时

$$\text{median} \approx L + \frac{N/2 - F_{\text{before}}}{f} \cdot w$$

这里：

• $L = 30$ 是该组的下边界
• $F_{\text{before}} = 16$ 是该组之前的累积频数
• $f = 12$ 是该组频数
• $w = 10$ 是组距宽度

所以

$$\text{median} \approx 30 + \frac{20 - 16}{12} \cdot 10 = 30 + \frac{40}{12} \approx 33.3$$

这个估计值并不是精确值。它依赖于一个假设：即 $30$-$40$ 这一组内的数据分布较为平滑。

估计第 75 百分位数

第 $75$ 百分位数是第 $(75/100) \cdot 40 = 30$ 个值。

根据累积频数：

• 到 30-40 为止，总数是 $28$
• 到 40-50 为止，总数是 $36$

所以第 $30$ 个值落在 $40$-$50$ 这一组中。

用同样的插值思路，

$$P_{75} \approx 40 + \frac{30 - 28}{8} \cdot 10 = 42.5$$

在累计频数曲线上，你会先在累积频数轴上标出 $30$，水平移到曲线，再向下读到分数轴上的约 $42.5$。

累积频数中的常见错误

混淆频数和累积频数

频数表示某一组中有多少个观测值。累积频数表示这一组以及之前所有组加起来共有多少个观测值。

使用了错误的位置

求中位数或百分位数时，位置由总频数 $N$ 决定。如果总数用错了，后面的每一步都会出错。

把分组估计当成精确值

累计频数曲线或插值法给出的是组内估计值，不是原始数据中的精确值。这个估计取决于该组区间内数据的分布方式。

横轴取值画错了

对于分组数据，累计频数曲线通常是对组界作图，尤其是上组界。如果改用组中值作图，图像的含义就变了。

什么时候会用到累积频数

只要你关心的是数据集中的顺序位置，而不只是每组的计数，就会用到累积频数。这包括考试成绩汇总、收入分布、质量控制数据，以及任何百分位数或中位数比单个组频数更重要的情形。

当原始数据很多时，它尤其有用，因为分组表通常比一长串观测值更容易阅读。

试着做一道类似的累积频数题

任选一个小型分组表，先加上一列累积频数，再绘制累计频数曲线。然后从图上读出中位数和一个百分位数，并与根据表格得到的估计值进行比较。

如果你还想再检验一次，可以自己设定 $N = 50$，然后思考第 $20$、$25$ 和 $45$ 个值会落在哪一组。这是帮助你真正理解这个概念的简单方法。