ความถี่สะสม — กราฟโอไจฟ์และเปอร์เซ็นไทล์

ความถี่สะสมคือผลรวมสะสมในตารางแจกแจงความถี่ มันบอกว่ามีข้อมูลกี่ค่าที่มีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับค่าหนึ่งหรือขอบเขตชั้นหนึ่ง จึงมีประโยชน์ในการหามัธยฐาน ควอไทล์ และเปอร์เซ็นไทล์

โอไจฟ์คือกราฟของผลรวมสะสมนั้น เมื่อคุณอ่านตารางและกราฟควบคู่กันได้แล้ว โจทย์ข้อมูลแบบจัดกลุ่มจะง่ายขึ้นมาก

นิยามของความถี่สะสม

ถ้าความถี่ของแต่ละชั้นคือ $f_1, f_2, \dots, f_k$ ความถี่สะสมถึงชั้นที่ $k$ คือ

$$F_k = f_1 + f_2 + \cdots + f_k$$

แต่ละแถวคือการเพิ่มอีกหนึ่งชั้นเข้าไปในผลรวม ถ้าความถี่สะสมเป็น $28$ เมื่อจบชั้นหนึ่ง แปลว่ามีข้อมูล $28$ ค่าอยู่ในชั้นนั้นหรือต่ำกว่านั้น

สำหรับข้อมูลที่ไม่ได้จัดกลุ่ม ความถี่สะสมก็คือการนับสะสมตามลำดับ สำหรับข้อมูลแบบจัดกลุ่ม จะเป็นการนับสะสมตามช่วงชั้น

โอไจฟ์ช่วยให้อ่านเปอร์เซ็นไทล์ได้อย่างไร

โอไจฟ์เป็นกราฟที่พล็อตความถี่สะสมเทียบกับขอบเขตชั้น สำหรับข้อมูลต่อเนื่องแบบจัดกลุ่ม โดยทั่วไปจะพล็อต:

• ขอบเขตชั้นบนบนแกนนอน
• ความถี่สะสมบนแกนตั้ง

จากนั้นเชื่อมจุดด้วยเส้นโค้งเรียบหรือเส้นหักเป็นช่วง กราฟจะสูงขึ้นเรื่อย ๆ เพราะความถี่สะสมไม่มีวันลดลง

การใช้งานหลักของโอไจฟ์คือการอ่านตำแหน่งในชุดข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว ถ้าความถี่รวมคือ $N$ จะได้ว่า:

• มัธยฐานอยู่ประมาณค่าลำดับที่ $N/2$
• ควอไทล์ที่หนึ่งอยู่ประมาณค่าลำดับที่ $N/4$
• ควอไทล์ที่สามอยู่ประมาณค่าลำดับที่ $3N/4$
• เปอร์เซ็นไทล์ที่ $p$ อยู่ประมาณค่าลำดับที่ $(p/100)N$

บนกราฟ คุณเริ่มจากตำแหน่งนั้นบนแกนตั้ง ลากไปหาเส้นโอไจฟ์ แล้วจึงลากลงมายังแกนนอนเพื่อประมาณค่าข้อมูล

ตัวอย่างทำโจทย์: มัธยฐานและเปอร์เซ็นไทล์ที่ 75

สมมติว่าคะแนนสอบของนักเรียน $40$ คนถูกจัดกลุ่มดังนี้:

คะแนน	ความถี่	ความถี่สะสม
0-10	$2$	$2$
10-20	$5$	$7$
20-30	$9$	$16$
30-40	$12$	$28$
40-50	$8$	$36$
50-60	$4$	$40$

ความถี่รวมคือ $N = 40$

หามัธยฐานจากตาราง

มัธยฐานคือค่าลำดับที่ $N/2 = 20$

ดูจากความถี่สะสม:

• ถึงช่วง 20-30 ผลรวมเป็น $16$
• ถึงช่วง 30-40 ผลรวมเป็น $28$

ดังนั้นค่าลำดับที่ $20$ อยู่ในชั้น $30$-$40$

ถ้าต้องการค่าประมาณแบบข้อมูลจัดกลุ่ม ให้ใช้อินเตอร์โพเลชันก็ต่อเมื่อสมเหตุสมผลที่จะถือว่าค่าข้อมูลกระจายค่อนข้างสม่ำเสมอภายในชั้นนั้น แล้วจะได้ว่า

$$\text{median} \approx L + \frac{N/2 - F_{\text{before}}}{f} \cdot w$$

โดยที่:

• $L = 30$ คือขอบเขตล่างของชั้น
• $F_{\text{before}} = 16$ คือความถี่สะสมก่อนถึงชั้นนี้
• $f = 12$ คือความถี่ของชั้น
• $w = 10$ คือความกว้างของชั้น

ดังนั้น

$$\text{median} \approx 30 + \frac{20 - 16}{12} \cdot 10 = 30 + \frac{40}{12} \approx 33.3$$

ค่าประมาณนี้ไม่ใช่ค่าที่แน่นอน เพราะขึ้นอยู่กับสมมติฐานว่าค่าภายในชั้น $30$-$40$ กระจายอย่างค่อนข้างเรียบสม่ำเสมอ

ประมาณเปอร์เซ็นไทล์ที่ 75

เปอร์เซ็นไทล์ที่ $75$ คือค่าลำดับที่ $(75/100) \cdot 40 = 30$

จากความถี่สะสม:

• ถึงช่วง 30-40 ผลรวมเป็น $28$
• ถึงช่วง 40-50 ผลรวมเป็น $36$

ดังนั้นค่าลำดับที่ $30$ อยู่ในชั้น $40$-$50$

ใช้แนวคิดการอินเตอร์โพเลชันแบบเดียวกัน จะได้ว่า

$$P_{75} \approx 40 + \frac{30 - 28}{8} \cdot 10 = 42.5$$

บนกราฟโอไจฟ์ คุณจะทำเครื่องหมายที่ $30$ บนแกนความถี่สะสม ลากไปหาเส้นโค้ง แล้วอ่านค่าลงมาบนแกนคะแนนได้ประมาณ $42.5$

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยเกี่ยวกับความถี่สะสม

สับสนระหว่างความถี่กับความถี่สะสม

ความถี่บอกว่ามีข้อมูลกี่ค่าในชั้นเดียว ส่วนความถี่สะสมบอกว่ามีข้อมูลกี่ค่าในชั้นนั้นรวมกับทุกชั้นก่อนหน้า

ใช้ตำแหน่งผิด

สำหรับมัธยฐานหรือเปอร์เซ็นไทล์ ตำแหน่งต้องมาจากความถี่รวม $N$ ถ้าใช้ผลรวมผิด ทุกขั้นตอนหลังจากนั้นก็จะผิดตามไปด้วย

คิดว่าค่าประมาณจากข้อมูลจัดกลุ่มเป็นค่าจริงแน่นอน

โอไจฟ์หรือการอินเตอร์โพเลชันให้เพียงค่าประมาณภายในชั้น ไม่ใช่ค่าข้อมูลดั้งเดิมที่แน่นอน ค่าประมาณนี้ขึ้นอยู่กับการกระจายของข้อมูลภายในช่วงนั้น

พล็อตค่าบนแกนนอนผิด

สำหรับข้อมูลแบบจัดกลุ่ม โอไจฟ์มักพล็อตเทียบกับขอบเขตชั้น โดยเฉพาะขอบเขตชั้นบน การพล็อตเทียบกับจุดกึ่งกลางชั้นจะทำให้ความหมายเปลี่ยนไป

ความถี่สะสมถูกใช้เมื่อใด

ความถี่สะสมใช้เมื่อคุณต้องการตำแหน่งเชิงลำดับในชุดข้อมูล มากกว่าการนับแยกทีละชั้น ซึ่งรวมถึงสรุปคะแนนสอบ การกระจายรายได้ ข้อมูลควบคุมคุณภาพ และสถานการณ์ใด ๆ ที่เปอร์เซ็นไทล์หรือมัธยฐานสำคัญกว่าจำนวนในแต่ละช่วง

มันมีประโยชน์เป็นพิเศษเมื่อข้อมูลดิบมีจำนวนมาก และตารางแบบจัดกลุ่มอ่านง่ายกว่ารายการข้อมูลยาว ๆ

ลองทำโจทย์ความถี่สะสมที่คล้ายกัน

ลองนำตารางข้อมูลแบบจัดกลุ่มขนาดเล็กสักตารางหนึ่งมาเพิ่มคอลัมน์ความถี่สะสมก่อนวาดโอไจฟ์ จากนั้นอ่านค่ามัธยฐานและเปอร์เซ็นไทล์หนึ่งค่าจากกราฟ แล้วเปรียบเทียบกับค่าประมาณจากตาราง

ถ้าต้องการตรวจสอบเพิ่มอีกนิด ลองสร้างตัวอย่างของคุณเองโดยให้ $N = 50$ แล้วถามว่าค่าลำดับที่ $20$, $25$ และ $45$ จะตกอยู่ในช่วงใด วิธีนี้ช่วยให้เข้าใจแนวคิดได้ชัดเจนขึ้น