Frekuensi Kumulatif — Kurva Ogive & Persentil

Frekuensi kumulatif adalah jumlah berjalan dalam tabel frekuensi. Ini memberi tahu Anda berapa banyak pengamatan yang berada pada atau di bawah suatu nilai atau batas kelas, sehingga berguna untuk mencari median, kuartil, dan persentil.

Ogive adalah grafik dari jumlah berjalan tersebut. Setelah Anda bisa membaca tabel dan grafiknya bersama-sama, soal data berkelompok menjadi jauh lebih mudah.

Definisi Frekuensi Kumulatif

Jika frekuensi kelas adalah $f_1, f_2, \dots, f_k$, maka frekuensi kumulatif sampai kelas $k$ adalah

$$F_k = f_1 + f_2 + \cdots + f_k$$

Setiap baris menambahkan satu kelas lagi ke total. Jika frekuensi kumulatif adalah $28$ pada akhir suatu kelas, maka ada $28$ pengamatan di kelas itu atau di bawahnya.

Untuk data tidak berkelompok, frekuensi kumulatif hanyalah hitungan berjalan. Untuk data berkelompok, ini adalah hitungan berjalan menurut interval kelas.

Bagaimana Ogive Membantu Membaca Persentil

Ogive memplot frekuensi kumulatif terhadap batas kelas. Untuk data kontinu berkelompok, biasanya Anda memplot:

• batas atas kelas pada sumbu horizontal
• frekuensi kumulatif pada sumbu vertikal

Lalu Anda menghubungkan titik-titik tersebut dengan garis halus atau garis patah-patah. Kurva naik karena frekuensi kumulatif tidak pernah menurun.

Kegunaan utama ogive adalah membaca posisi dalam kumpulan data yang sudah diurutkan. Jika frekuensi total adalah $N$, maka:

• median berada sekitar pada nilai ke-$N/2$
• kuartil pertama berada sekitar pada nilai ke-$N/4$
• kuartil ketiga berada sekitar pada nilai ke-$3N/4$
• persentil ke-$p$ berada sekitar pada nilai ke-$(p/100)N$

Pada grafik, Anda mulai dari posisi vertikal tersebut, bergerak mendatar ke ogive, lalu turun ke sumbu horizontal untuk memperkirakan nilainya.

Contoh Soal: Median dan Persentil ke-75

Misalkan nilai ujian untuk $40$ siswa dikelompokkan seperti ini:

Nilai	Frekuensi	Frekuensi kumulatif
0-10	$2$	$2$
10-20	$5$	$7$
20-30	$9$	$16$
30-40	$12$	$28$
40-50	$8$	$36$
50-60	$4$	$40$

Frekuensi total adalah $N = 40$.

Cari median dari tabel

Median adalah nilai ke-$N/2 = 20$.

Perhatikan frekuensi kumulatif:

• sampai 20-30, totalnya $16$
• sampai 30-40, totalnya $28$

Jadi nilai ke-$20$ berada dalam kelas $30$-$40$.

Jika Anda ingin estimasi data berkelompok, gunakan interpolasi hanya jika masuk akal untuk menganggap nilai-nilai tersebar cukup merata di seluruh kelas tersebut. Maka

$$\text{median} \approx L + \frac{N/2 - F_{\text{before}}}{f} \cdot w$$

Di sini:

• $L = 30$ adalah batas bawah kelas
• $F_{\text{before}} = 16$ adalah frekuensi kumulatif sebelum kelas tersebut
• $f = 12$ adalah frekuensi kelas
• $w = 10$ adalah lebar kelas

Jadi

$$\text{median} \approx 30 + \frac{20 - 16}{12} \cdot 10 = 30 + \frac{40}{12} \approx 33.3$$

Estimasi itu tidak tepat persis. Hasilnya bergantung pada asumsi bahwa nilai-nilai di dalam kelas $30$-$40$ tersebar cukup mulus.

Perkirakan persentil ke-75

Persentil ke-$75$ adalah nilai ke-$(75/100) \cdot 40 = 30$.

Dari frekuensi kumulatif:

• sampai 30-40, totalnya $28$
• sampai 40-50, totalnya $36$

Jadi nilai ke-$30$ berada dalam kelas $40$-$50$.

Dengan menggunakan gagasan interpolasi yang sama,

$$P_{75} \approx 40 + \frac{30 - 28}{8} \cdot 10 = 42.5$$

Pada ogive, Anda akan menandai $30$ pada sumbu frekuensi kumulatif, bergerak mendatar ke kurva, lalu membaca ke bawah hingga sekitar $42.5$ pada sumbu nilai.

Kesalahan Umum pada Frekuensi Kumulatif

Tertukar antara frekuensi dan frekuensi kumulatif

Frekuensi memberi tahu berapa banyak pengamatan dalam satu kelas. Frekuensi kumulatif memberi tahu berapa banyak pengamatan dalam kelas itu dan semua kelas sebelumnya jika digabungkan.

Menggunakan posisi yang salah

Untuk median atau persentil, posisi diperoleh dari frekuensi total $N$. Jika Anda memakai total yang salah, semua langkah berikutnya juga akan salah.

Menganggap estimasi data berkelompok sebagai nilai tepat

Ogive atau interpolasi memberi estimasi di dalam suatu kelas, bukan nilai data asli yang tepat. Estimasi itu bergantung pada bagaimana data tersebar di dalam interval tersebut.

Memplot nilai horizontal yang salah

Untuk data berkelompok, ogive biasanya diplot terhadap batas kelas, terutama batas atas kelas. Jika diplot terhadap titik tengah kelas, maknanya berubah.

Kapan Frekuensi Kumulatif Digunakan

Frekuensi kumulatif digunakan setiap kali Anda memerlukan posisi terurut dalam suatu kumpulan data, bukan sekadar jumlah per kelas. Ini mencakup ringkasan nilai ujian, distribusi pendapatan, data pengendalian mutu, dan situasi apa pun ketika persentil atau median lebih penting daripada jumlah pada tiap kelompok.

Ini sangat berguna ketika data mentah berjumlah besar dan tabel berkelompok lebih mudah dibaca daripada daftar pengamatan yang panjang.

Coba Soal Frekuensi Kumulatif yang Mirip

Ambil tabel berkelompok kecil apa pun dan tambahkan kolom frekuensi kumulatif sebelum menggambar ogive. Lalu baca median dan satu persentil dari grafik, kemudian bandingkan dengan estimasi dari tabel.

Jika Anda ingin satu pemeriksaan lagi, coba versi Anda sendiri dengan $N = 50$ dan tanyakan di mana nilai ke-$20$, ke-$25$, dan ke-$45$ akan berada. Itu cara sederhana untuk membuat gagasan ini benar-benar melekat.