Frequência Acumulada — Curva Ogiva e Percentis

Frequência acumulada é a soma progressiva em uma tabela de frequências. Ela mostra quantas observações estão em ou abaixo de um valor ou limite de classe, por isso é útil para encontrar a mediana, os quartis e os percentis.

Uma ogiva é o gráfico dessa soma progressiva. Quando você consegue ler a tabela e o gráfico em conjunto, as questões com dados agrupados ficam muito mais fáceis.

Definição de Frequência Acumulada

Se as frequências das classes são $f_1, f_2, \dots, f_k$, então a frequência acumulada até a classe $k$ é

$$F_k = f_1 + f_2 + \cdots + f_k$$

Cada linha acrescenta mais uma classe ao total. Se a frequência acumulada é $28$ ao final de uma classe, então $28$ observações estão nessa classe ou abaixo dela.

Para dados não agrupados, a frequência acumulada é apenas uma contagem progressiva. Para dados agrupados, ela é uma contagem progressiva por intervalo de classe.

Como uma Ogiva Ajuda a Ler Percentis

Uma ogiva representa a frequência acumulada em função dos limites de classe. Para dados contínuos agrupados, normalmente você representa:

• o limite superior da classe no eixo horizontal
• a frequência acumulada no eixo vertical

Depois, você liga os pontos com uma linha suave ou segmentada. A curva sobe porque a frequência acumulada nunca diminui.

O principal uso de uma ogiva é ler posições no conjunto de dados ordenado. Se a frequência total é $N$, então:

• a mediana está por volta do valor de ordem $N/2$
• o primeiro quartil está por volta do valor de ordem $N/4$
• o terceiro quartil está por volta do valor de ordem $3N/4$
• o percentil de ordem $p$ está por volta do valor de ordem $(p/100)N$

No gráfico, você começa nessa posição vertical, vai horizontalmente até a ogiva e depois desce até o eixo horizontal para estimar o valor.

Exemplo Resolvido: Mediana e 75º Percentil

Suponha que as notas de prova de $40$ alunos estejam agrupadas assim:

Nota	Frequência	Frequência acumulada
0-10	$2$	$2$
10-20	$5$	$7$
20-30	$9$	$16$
30-40	$12$	$28$
40-50	$8$	$36$
50-60	$4$	$40$

A frequência total é $N = 40$.

Encontre a mediana pela tabela

A mediana é o valor de ordem $N/2 = 20$.

Observe as frequências acumuladas:

• até 20-30, o total é $16$
• até 30-40, o total é $28$

Então o $20$º valor está na classe $30$-$40$.

Se você quiser uma estimativa para dados agrupados, use interpolação apenas se for razoável considerar que os valores estão distribuídos de forma relativamente uniforme nessa classe. Então

$$\text{median} \approx L + \frac{N/2 - F_{\text{before}}}{f} \cdot w$$

Aqui:

• $L = 30$ é o limite inferior da classe
• $F_{\text{before}} = 16$ é a frequência acumulada antes da classe
• $f = 12$ é a frequência da classe
• $w = 10$ é a amplitude da classe

Então

$$\text{median} \approx 30 + \frac{20 - 16}{12} \cdot 10 = 30 + \frac{40}{12} \approx 33.3$$

Essa estimativa não é exata. Ela depende da suposição de que os valores dentro da classe $30$-$40$ estejam distribuídos de forma relativamente suave.

Estime o 75º percentil

O $75$º percentil é o valor de ordem $(75/100) \cdot 40 = 30$.

Pelas frequências acumuladas:

• até 30-40, o total é $28$
• até 40-50, o total é $36$

Então o $30$º valor está na classe $40$-$50$.

Usando a mesma ideia de interpolação,

$$P_{75} \approx 40 + \frac{30 - 28}{8} \cdot 10 = 42.5$$

Em uma ogiva, você marcaria $30$ no eixo da frequência acumulada, iria horizontalmente até a curva e depois leria no eixo das notas um valor próximo de $42.5$.

Erros Comuns com Frequência Acumulada

Confundir frequência com frequência acumulada

A frequência mostra quantas observações estão em uma única classe. A frequência acumulada mostra quantas observações estão nessa classe e em todas as classes anteriores juntas.

Usar a posição errada

Para a mediana ou um percentil, a posição vem da frequência total $N$. Se você usar o total errado, todas as etapas seguintes ficarão incorretas.

Tratar estimativas de dados agrupados como exatas

Uma ogiva ou a interpolação fornece uma estimativa dentro de uma classe, não um valor exato dos dados originais. Essa estimativa depende de como os dados estão distribuídos dentro do intervalo.

Representar os valores errados no eixo horizontal

Para dados agrupados, as ogivas normalmente são construídas com os limites de classe, especialmente os limites superiores. Usar os pontos médios das classes muda o significado.

Quando a Frequência Acumulada É Usada

A frequência acumulada é usada sempre que você precisa da posição ordenada em um conjunto de dados, e não apenas das contagens por classe. Isso inclui resumos de notas de prova, distribuições de renda, dados de controle de qualidade e qualquer situação em que percentis ou medianas sejam mais importantes do que as contagens individuais por intervalo.

Ela é especialmente útil quando os dados brutos são grandes e uma tabela agrupada é mais fácil de ler do que uma longa lista de observações.

Tente um Problema Parecido de Frequência Acumulada

Pegue qualquer pequena tabela agrupada e adicione uma coluna de frequência acumulada antes de desenhar uma ogiva. Depois, leia a mediana e um percentil no gráfico e compare com a estimativa obtida pela tabela.

Se quiser mais uma verificação, tente sua própria versão com $N = 50$ e pergunte em que classes cairiam os valores de ordem $20$, $25$ e $45$. Essa é uma forma simples de fixar a ideia.