Frecuencia acumulada — curva ojiva y percentiles

La frecuencia acumulada es el total progresivo en una tabla de frecuencias. Indica cuántas observaciones están en o por debajo de un valor o límite de clase, por eso es útil para hallar la mediana, los cuartiles y los percentiles.

Una ojiva es la gráfica de ese total progresivo. Cuando sabes leer la tabla y la gráfica juntas, las preguntas sobre datos agrupados se vuelven mucho más fáciles.

Definición de frecuencia acumulada

Si las frecuencias de clase son $f_1, f_2, \dots, f_k$, entonces la frecuencia acumulada hasta la clase $k$ es

$$F_k = f_1 + f_2 + \cdots + f_k$$

Cada fila añade una clase más al total. Si la frecuencia acumulada es $28$ al final de una clase, entonces hay $28$ observaciones en esa clase o por debajo de ella.

Para datos no agrupados, la frecuencia acumulada es simplemente un recuento progresivo. Para datos agrupados, es un recuento progresivo por intervalos de clase.

Cómo te ayuda una ojiva a leer percentiles

Una ojiva representa la frecuencia acumulada frente a los límites de clase. Para datos continuos agrupados, normalmente se representa:

• el límite superior de clase en el eje horizontal
• la frecuencia acumulada en el eje vertical

Después unes los puntos con una línea suave o por tramos. La curva asciende porque la frecuencia acumulada nunca disminuye.

El uso principal de una ojiva es leer posiciones en el conjunto de datos ordenado. Si la frecuencia total es $N$, entonces:

• la mediana está aproximadamente en el valor $N/2$
• el primer cuartil está aproximadamente en el valor $N/4$
• el tercer cuartil está aproximadamente en el valor $3N/4$
• el percentil $p$ está aproximadamente en el valor $(p/100)N$

En la gráfica, empiezas desde esa posición vertical, avanzas horizontalmente hasta la ojiva y luego bajas al eje horizontal para estimar el valor.

Ejemplo resuelto: mediana y percentil 75

Supón que las puntuaciones de un examen de $40$ estudiantes están agrupadas así:

Puntuación	Frecuencia	Frecuencia acumulada
0-10	$2$	$2$
10-20	$5$	$7$
20-30	$9$	$16$
30-40	$12$	$28$
40-50	$8$	$36$
50-60	$4$	$40$

La frecuencia total es $N = 40$.

Hallar la mediana a partir de la tabla

La mediana es el valor número $N/2 = 20$.

Mira las frecuencias acumuladas:

• hasta 20-30, el total es $16$
• hasta 30-40, el total es $28$

Así que el valor número $20$ está en la clase $30$-$40$.

Si quieres una estimación con datos agrupados, usa interpolación solo si es razonable considerar que los valores están repartidos de forma bastante uniforme dentro de esa clase. Entonces

$$\text{median} \approx L + \frac{N/2 - F_{\text{before}}}{f} \cdot w$$

Aquí:

• $L = 30$ es el límite inferior de la clase
• $F_{\text{before}} = 16$ es la frecuencia acumulada antes de la clase
• $f = 12$ es la frecuencia de la clase
• $w = 10$ es la amplitud de clase

Entonces

$$\text{median} \approx 30 + \frac{20 - 16}{12} \cdot 10 = 30 + \frac{40}{12} \approx 33.3$$

Esa estimación no es exacta. Depende de la suposición de que los valores dentro de la clase $30$-$40$ están repartidos de manera bastante uniforme.

Estimar el percentil 75

El percentil $75$ es el valor número $(75/100) \cdot 40 = 30$.

A partir de las frecuencias acumuladas:

• hasta 30-40, el total es $28$
• hasta 40-50, el total es $36$

Así que el valor número $30$ está en la clase $40$-$50$.

Usando la misma idea de interpolación,

$$P_{75} \approx 40 + \frac{30 - 28}{8} \cdot 10 = 42.5$$

En una ojiva, marcarías $30$ en el eje de frecuencia acumulada, avanzarías horizontalmente hasta la curva y luego bajarías para leer aproximadamente $42.5$ en el eje de puntuación.

Errores comunes con la frecuencia acumulada

Confundir frecuencia con frecuencia acumulada

La frecuencia indica cuántas observaciones hay en una sola clase. La frecuencia acumulada indica cuántas observaciones hay en esa clase y en todas las clases anteriores juntas.

Usar la posición incorrecta

Para la mediana o un percentil, la posición se obtiene a partir de la frecuencia total $N$. Si usas un total incorrecto, todos los pasos posteriores estarán mal.

Tratar las estimaciones agrupadas como exactas

Una ojiva o una interpolación da una estimación dentro de una clase, no un valor exacto de los datos originales. Esa estimación depende de cómo estén distribuidos los datos dentro del intervalo.

Representar valores incorrectos en el eje horizontal

Para datos agrupados, las ojivas suelen representarse frente a los límites de clase, especialmente los límites superiores. Representarlas frente a las marcas de clase cambia el significado.

Cuándo se usa la frecuencia acumulada

La frecuencia acumulada se usa siempre que necesitas la posición ordenada dentro de un conjunto de datos, en lugar de solo los recuentos por clase. Eso incluye resúmenes de notas de exámenes, distribuciones de ingresos, datos de control de calidad y cualquier situación en la que los percentiles o las medianas importen más que los recuentos individuales por intervalo.

Es especialmente útil cuando los datos sin agrupar son muchos y una tabla agrupada es más fácil de leer que una lista larga de observaciones.

Prueba un problema similar de frecuencia acumulada

Toma cualquier tabla agrupada pequeña y añade una columna de frecuencia acumulada antes de dibujar una ojiva. Después lee la mediana y un percentil en la gráfica y compáralos con la estimación obtenida a partir de la tabla.

Si quieres una comprobación más, prueba tu propia versión con $N = 50$ y pregúntate dónde caerían los valores número $20$, $25$ y $45$. Es una forma sencilla de afianzar la idea.