การบวกเวกเตอร์

การบวกเวกเตอร์ในฟิสิกส์หมายถึงการรวมเวกเตอร์ตั้งแต่สองตัวขึ้นไปให้เป็นเวกเตอร์ลัพธ์หนึ่งตัว เนื่องจากเวกเตอร์มีทั้งขนาดและทิศทาง คุณจึงต้องติดตามทั้งสองอย่าง นั่นจึงเป็นเหตุผลว่าทำไมการนำ $5\ \mathrm{N}$ ไปทางตะวันออก บวกกับ $5\ \mathrm{N}$ ไปทางเหนือ จึงไม่ได้ให้ผลเป็น $10\ \mathrm{N}$ ในเส้นตรงเดียว

วิธีที่เร็วและเชื่อถือได้ที่สุดสำหรับโจทย์พื้นฐานส่วนใหญ่คือการบวกองค์ประกอบ คุณแยกเวกเตอร์แต่ละตัวออกเป็นส่วนในแนวนอนและแนวตั้ง บวกส่วนที่ตรงกัน แล้วจึงประกอบกลับเป็นเวกเตอร์สุดท้ายจากผลรวมเหล่านั้น

การบวกเวกเตอร์หมายถึงอะไร

ปริมาณสเกลาร์บวกกันด้วยขนาดเพียงอย่างเดียว แต่เวกเตอร์ไม่ใช่แบบนั้น ถ้าเวกเตอร์สองตัวชี้ไปในทิศทางเดียวกัน เวกเตอร์ลัพธ์จะมีขนาดมากขึ้น ถ้าชี้ในทิศทางตรงข้ามกัน เวกเตอร์ลัพธ์จะมีขนาดเล็กลง ถ้าทำมุมกัน เวกเตอร์ลัพธ์จะชี้ไปในทิศทางที่อยู่ระหว่างนั้น

สิ่งนี้ใช้ได้ก็ต่อเมื่อปริมาณเหล่านั้นเป็นเวกเตอร์ชนิดเดียวกัน คุณสามารถบวกการกระจัดกับการกระจัด หรือแรงกับแรงได้ แต่ไม่สามารถบวกแรงกับความเร็วได้

วิธีบวกเวกเตอร์ในฟิสิกส์

วิธีหัวต่อหาง เป็นวิธีเชิงภาพ วาดเวกเตอร์ตัวที่สองให้เริ่มจากหัวของเวกเตอร์ตัวแรก เวกเตอร์ลัพธ์จะลากจากหางของเวกเตอร์ตัวแรกไปยังหัวของเวกเตอร์ตัวสุดท้าย

วิธีองค์ประกอบ เป็นวิธีคำนวณ แยกเวกเตอร์แต่ละตัวออกเป็นส่วนในแนวนอนและแนวตั้ง บวกส่วนเหล่านั้นแยกกัน แล้วประกอบกลับเป็นเวกเตอร์สุดท้ายจากผลรวม ในรูปสัญลักษณ์ ถ้าเวกเตอร์ลัพธ์มีองค์ประกอบ $R_x$ และ $R_y$ จะได้ว่า

$$\vec{R} = (R_x, R_y)$$

และขนาดคือ

$$|\vec\{R\}| = \sqrt\{R_x^2 + R_y^2\}$$

ทิศทางหาได้จากอัตราส่วนขององค์ประกอบ โดยมักใช้ $\tan \theta = R_y / R_x$ เมื่อวัดมุมจากแกน $x$ บวก

ตัวอย่างทำโจทย์: บวกการกระจัดตั้งฉากกันสองตัว

สมมติว่านักเรียนคนหนึ่งเดินไปทางตะวันออก $3\ \mathrm{m}$ แล้วเดินต่อไปทางเหนือ $4\ \mathrm{m}$ การกระจัดรวมเป็นเท่าไร?

นี่เป็นโจทย์การบวกเวกเตอร์ เพราะการกระจัดมีทิศทาง เขียนเวกเตอร์การกระจัดทั้งสองในรูปองค์ประกอบได้เป็น

$$\vec{A} = (3, 0)\ \mathrm{m}, \quad \vec{B} = (0, 4)\ \mathrm{m}$$

บวกองค์ประกอบที่สอดคล้องกันเพื่อหาเวกเตอร์ลัพธ์:

$$\vec{R} = \vec{A} + \vec{B} = (3, 4)\ \mathrm{m}$$

จากนั้นหาขนาดและทิศทาง:

$$|\vec\{R\}| = \sqrt\{3^2 + 4^2\} = 5\ \mathrm\{m\}$$ $$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right) \approx 53^\circ$$

ดังนั้นการกระจัดรวมคือ $5\ \mathrm{m}$ ที่มุมประมาณ $53^\circ$ ไปทางเหนือของทิศตะวันออก ตัวอย่างนี้ดูได้ชัดเจนเพราะเวกเตอร์ทั้งสองตั้งฉากกัน จึงมองภาพองค์ประกอบได้ง่าย

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยในการบวกเวกเตอร์

บวกขนาดโดยไม่ตรวจสอบทิศทาง

วิธีนี้ใช้ได้ก็ต่อเมื่อเวกเตอร์ทั้งหมดอยู่บนเส้นเดียวกันและชี้ไปในทิศทางเดียวกันเท่านั้น มิฉะนั้น ทิศทางจะทำให้ผลลัพธ์เปลี่ยนไป

ผสมปริมาณทางกายภาพคนละชนิด

คุณสามารถบวกแรงกับแรง หรือการกระจัดกับการกระจัดได้ แต่ไม่ควรบวกแรงกับความเร็ว เพราะเป็นปริมาณคนละชนิดกัน

ลืมทิศทางในคำตอบสุดท้าย

เวกเตอร์ลัพธ์ก็ยังคงเป็นเวกเตอร์ การรายงานเฉพาะขนาดจึงยังไม่สมบูรณ์ เว้นแต่โจทย์จะถามเฉพาะขนาดอย่างชัดเจน

ใช้สูตรลัดนอกเงื่อนไขที่ใช้ได้

บางสูตรใช้ได้เฉพาะกรณีพิเศษเท่านั้น ตัวอย่างเช่น สามเหลี่ยม $3$-$4$-$5$ ในตัวอย่างใช้ได้เพราะองค์ประกอบตั้งฉากกัน ไม่ใช่เพราะเวกเตอร์ทุกคู่จะสร้างสามเหลี่ยมมุมฉากเสมอไป

การบวกเวกเตอร์ถูกใช้ที่ไหนในฟิสิกส์

การบวกเวกเตอร์ปรากฏขึ้นทุกครั้งที่ผลของทิศทางหลายอย่างรวมกันเป็นผลลัพธ์เดียว ตัวอย่างที่พบบ่อย ได้แก่ การกระจัดรวมหลังจากเคลื่อนที่หลายช่วง แรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุ ความเร็วสัมพัทธ์กับตัวกลางที่กำลังเคลื่อนที่ และผลรวมของสนามไฟฟ้าหรือสนามแม่เหล็กจากหลายแหล่งกำเนิด

ในกลศาสตร์ แนวคิดนี้สำคัญอย่างยิ่งสำหรับแรงลัพธ์ ถ้ามีแรงหลายแรงกระทำต่อวัตถุชิ้นเดียว ผลรวมเชิงเวกเตอร์ของแรงเหล่านั้นจะเป็นตัวกำหนดผลโดยรวมต่อการเคลื่อนที่

เช็กสั้น ๆ ก่อนเริ่มทำ

ก่อนคำนวณ ให้ถามตัวเองสองคำถาม:

1. ปริมาณเหล่านี้เป็นเวกเตอร์ชนิดเดียวกันหรือไม่?
2. ฉันรู้ทิศทางของแต่ละเวกเตอร์ชัดเจนพอที่จะนำมาบวกกันหรือไม่?

ถ้าคำตอบของทั้งสองข้อคือใช่ วิธีองค์ประกอบมักจะช่วยให้จัดระเบียบโจทย์ได้ดี

ลองทำโจทย์การบวกเวกเตอร์ที่คล้ายกัน

ลองเปลี่ยนตัวอย่างเป็น $6\ \mathrm{m}$ ไปทางตะวันออก และ $8\ \mathrm{m}$ ไปทางเหนือ หรือเปลี่ยนให้เวกเตอร์ตัวหนึ่งชี้ไปทางตะวันตกแทนตะวันออก แล้วคาดเดาทิศทางสุดท้ายก่อนคำนวณ ถ้าต้องการฝึกอีกกรณีหนึ่ง ลองตั้งโจทย์ของคุณเองด้วยตัวเลขใหม่ แล้วเปรียบเทียบผลรวมขององค์ประกอบก่อน