Dodawanie wektorów

Dodawanie wektorów w fizyce oznacza łączenie dwóch lub większej liczby wektorów w jeden wektor wypadkowy. Ponieważ wektor ma zarówno wartość, jak i kierunek, trzeba uwzględnić oba te elementy. Dlatego dodanie $5\ \mathrm{N}$ na wschód do $5\ \mathrm{N}$ na północ nie daje po prostu $10\ \mathrm{N}$ w jednej linii.

Najszybszą i najbardziej niezawodną metodą w większości zadań wprowadzających jest dodawanie składowych. Rozkładasz każdy wektor na część poziomą i pionową, dodajesz odpowiadające sobie części, a potem odtwarzasz z tych sum wektor końcowy.

Co oznacza dodawanie wektorów

Skalary dodaje się tylko według wartości. Wektory nie. Jeśli dwa wektory są skierowane w tę samą stronę, wektor wypadkowy ma większą wartość. Jeśli są skierowane przeciwnie, wektor wypadkowy ma mniejszą wartość. Jeśli tworzą kąt, wektor wypadkowy jest skierowany gdzieś pomiędzy nimi.

To działa tylko wtedy, gdy wielkości są tym samym rodzajem wektora. Możesz dodać przemieszczenie do przemieszczenia albo siłę do siły, ale nie siłę do prędkości.

Jak dodawać wektory w fizyce

Metoda od końca do początku jest metodą graficzną. Narysuj drugi wektor tak, aby zaczynał się na końcu pierwszego. Wektor wypadkowy biegnie od początku pierwszego wektora do końca ostatniego.

Metoda składowych jest metodą obliczeniową. Rozłóż każdy wektor na część poziomą i pionową, dodaj te części osobno, a następnie odtwórz wektor końcowy z otrzymanych sum. Symbolicznie, jeśli wektor wypadkowy ma składowe $R_x$ i $R_y$, to

$$\vec{R} = (R_x, R_y)$$

a jego wartość wynosi

$$|\vec\{R\}| = \sqrt\{R_x^2 + R_y^2\}$$

Kierunek wynika ze stosunku składowych, często z zależności $\tan \theta = R_y / R_x$, gdy kąt jest mierzony od dodatniej osi $x$.

Przykład rozwiązany: dodawanie dwóch prostopadłych przemieszczeń

Załóżmy, że uczeń idzie $3\ \mathrm{m}$ na wschód, a potem $4\ \mathrm{m}$ na północ. Jakie jest całkowite przemieszczenie?

To jest zadanie z dodawania wektorów, ponieważ przemieszczenie ma kierunek. Zapisz oba wektory przemieszczenia w postaci składowych:

$$\vec{A} = (3, 0)\ \mathrm{m}, \quad \vec{B} = (0, 4)\ \mathrm{m}$$

Dodaj odpowiadające sobie składowe, aby otrzymać wektor wypadkowy:

$$\vec{R} = \vec{A} + \vec{B} = (3, 4)\ \mathrm{m}$$

Teraz wyznacz wartość i kierunek:

$$|\vec\{R\}| = \sqrt\{3^2 + 4^2\} = 5\ \mathrm\{m\}$$ $$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right) \approx 53^\circ$$

Zatem całkowite przemieszczenie wynosi $5\ \mathrm{m}$ pod kątem około $53^\circ$ na północ od wschodu. Ten przykład jest szczególnie przejrzysty, ponieważ oba wektory są prostopadłe, więc obraz składowych łatwo odczytać.

Najczęstsze błędy przy dodawaniu wektorów

Dodawanie wartości bez sprawdzania kierunku

To działa tylko wtedy, gdy wszystkie wektory leżą na jednej prostej i są skierowane w tę samą stronę. W przeciwnym razie kierunek zmienia wynik.

Mieszanie różnych wielkości fizycznych

Możesz dodać siłę do siły albo przemieszczenie do przemieszczenia. Nie należy dodawać siły do prędkości, ponieważ są to różne rodzaje wielkości.

Pomijanie kierunku w odpowiedzi końcowej

Wektor wypadkowy nadal jest wektorem. Podanie samej wartości jest niepełne, chyba że w zadaniu wyraźnie poproszono tylko o wartość.

Stosowanie skrótu poza warunkami jego użycia

Niektóre wzory działają tylko w szczególnych przypadkach. Na przykład trójkąt $3$-$4$-$5$ z przykładu działa dlatego, że składowe są prostopadłe, a nie dlatego, że każda para wektorów tworzy trójkąt prostokątny.

Gdzie dodawanie wektorów jest używane w fizyce

Dodawanie wektorów pojawia się wszędzie tam, gdzie kilka efektów kierunkowych łączy się w jeden wynik. Typowe przykłady to całkowite przemieszczenie po kilku ruchach, siła wypadkowa działająca na ciało, prędkość względem poruszającego się ośrodka oraz wkłady pola elektrycznego lub magnetycznego od różnych źródeł.

W mechanice ta idea jest szczególnie ważna przy sile wypadkowej. Jeśli na jedno ciało działa kilka sił, ich suma wektorowa wyznacza ogólny wpływ na ruch.

Szybkie sprawdzenie przed rozpoczęciem

Przed obliczeniami zadaj sobie dwa pytania:

1. Czy te wielkości są tym samym rodzajem wektora?
2. Czy znam kierunek każdego z nich na tyle dobrze, aby je dodać?

Jeśli na oba pytania odpowiedź brzmi tak, metoda składowych zwykle pozwoli zachować porządek w rozwiązaniu.

Spróbuj podobnego zadania z dodawania wektorów

Zmień przykład na $6\ \mathrm{m}$ na wschód i $8\ \mathrm{m}$ na północ albo skieruj jeden z wektorów na zachód zamiast na wschód i przewidź końcowy kierunek przed obliczeniami. Jeśli chcesz przećwiczyć jeszcze jeden przypadek, ułóż własną wersję z nowymi liczbami i najpierw porównaj sumy składowych.