用简单的话说，什么是矢量加法？

矢量加法是把两个或多个矢量合成为一个合矢量，同时保留大小和方向。通常不能只把大小直接相加。

在物理中，什么时候可以直接相加矢量？

当这些矢量表示同一种物理量时，例如位移和位移、力和力，并且单位相容时，就可以相加。

物理中的矢量加法，是把两个或多个矢量合成为一个合矢量。由于矢量同时具有大小和方向，所以这两者都必须考虑。这就是为什么把 $5\ \mathrm{N}$ 向东和 $5\ \mathrm{N}$ 向北相加，并不会得到沿一条直线的 $10\ \mathrm{N}$ 。

对于大多数入门题，最快且可靠的方法是分量相加。先把每个矢量分解成水平和竖直分量，再把对应分量分别相加，最后由这些和重建最终矢量。

标量只按大小相加，矢量不是这样。如果两个矢量方向相同，合矢量会变大。如果它们方向相反，合矢量会变小。如果它们之间有夹角，合矢量的方向会落在两者之间。

这只适用于同一种矢量物理量。你可以把位移和位移相加，或把力和力相加，但不能把力和速度相加。

首尾相接法是图像法。把第二个矢量的起点画在第一个矢量的终点上。合矢量从第一个矢量的起点，连到最后一个矢量的终点。

分量法是计算法。把每个矢量分解成水平和竖直分量，分别相加，然后由这些和重建最终矢量。用符号表示，如果合矢量的分量是 $R_x$ 和 $R_y$ ，那么

\vec{R} = (R_x, R_y)

其大小为

|\vec\{R\}| = \sqrt\{R_x^2 + R_y^2\}

方向由分量之比确定；如果角度是从正 $x$ 轴开始测量，通常有 $\tan \theta = R_y / R_x$ 。

假设一名学生先向东走 $3\ \mathrm{m}$ ，再向北走 $4\ \mathrm{m}$ 。总位移是多少？

这是一个矢量加法问题，因为位移有方向。先把两个位移矢量写成分量形式：

\vec{A} = (3, 0)\ \mathrm{m}, \quad \vec{B} = (0, 4)\ \mathrm{m}

把对应分量相加，得到合矢量：

\vec{R} = \vec{A} + \vec{B} = (3, 4)\ \mathrm{m}

现在求它的大小和方向：

|\vec\{R\}| = \sqrt\{3^2 + 4^2\} = 5\ \mathrm\{m\}

\theta = \tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right) \approx 53^\circ

所以总位移是 $5\ \mathrm{m}$ ，方向约为东偏北 $53^\circ$ 。这个例子之所以计算简洁，是因为两个矢量互相垂直，所以分量图像很容易理解。

只有当所有矢量都在同一直线上并且方向相同时，这样做才成立。否则，方向会改变结果。

你可以把力和力相加，或把位移和位移相加。但不应该把力和速度相加，因为它们是不同种类的物理量。

合矢量仍然是矢量。除非题目明确只要求大小，否则只报告大小是不完整的。

有些公式只适用于特殊情况。例如，例子中的 $3$ - $4$ - $5$ 三角形之所以成立，是因为分量彼此垂直，而不是因为任意两个矢量都会构成直角三角形。

只要多个有方向的效应合成为一个结果，就会用到矢量加法。常见例子包括多次运动后的总位移、物体所受合力、相对于运动介质的速度，以及不同来源产生的电场或磁场贡献。

在力学中，这个概念对合力尤其重要。如果多个力作用在同一个物体上，它们的矢量和决定了运动的总体效果。

在计算之前，先问两个问题：

如果这两个问题的答案都是肯定的，那么分量法通常能让解题过程保持清晰有序。

把例子改成向东 $6\ \mathrm{m}$ 和向北 $8\ \mathrm{m}$ ，或者让其中一个矢量改为向西而不是向东，并在计算前先预测最终方向。如果你还想再练习一个情形，可以自己换一组数字，先比较各个分量的和。

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