การเคลื่อนที่แบบโปรเจกไทล์ — สมการ ระยะทาง และตัวอย่าง

การเคลื่อนที่แบบโปรเจกไทล์คือการเคลื่อนที่ของวัตถุในสองมิติหลังจากถูกปล่อยหรือยิงออกไป โดยมีแรงโน้มถ่วงเป็นแรงสำคัญเพียงแรงเดียว ในแบบจำลองมาตรฐานระดับเบื้องต้น เราจะละเลยแรงต้านอากาศ ดังนั้นความเร่งในแนวระดับจึงเป็น $0$ และความเร่งในแนวดิ่งเป็น $-g$

นั่นทำให้โจทย์การเคลื่อนที่แบบโปรเจกไทล์ส่วนใหญ่ง่ายขึ้นมาก เมื่อแยกพิจารณาเป็นส่วนแนวระดับและแนวดิ่ง ถ้าวัตถุไม่ได้ตกที่ระดับความสูงเดียวกับจุดปล่อย สูตรลัดอย่างสูตรหาระยะทางแบบทั่วไปจะใช้ไม่ได้โดยอัตโนมัติ

ความหมายและแนวคิดหลักของการเคลื่อนที่แบบโปรเจกไทล์

เริ่มจากอัตราเร็วต้น $v_0$ และมุมยิง $\theta$ แล้วแยกความเร็วออกเป็นองค์ประกอบ:

$$v_{0x} = v_0 \cos \theta, \qquad v_{0y} = v_0 \sin \theta$$

จากนั้นพิจารณาแต่ละทิศทางแยกกัน

การเคลื่อนที่ในแนวระดับ:

$$x = v_{0x} t = v_0 \cos \theta \, t$$

การเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง เมื่อกำหนดให้จุดปล่อยเป็น $y = 0$:

$$y = v_{0y} t - \frac{1}{2}gt^2 = v_0 \sin \theta \, t - \frac{1}{2}gt^2$$

สมการเหล่านี้ใช้ได้กับแบบจำลองพื้นฐานที่แรงโน้มถ่วงคงที่และละเลยแรงต้านอากาศ

สมการการเคลื่อนที่แบบโปรเจกไทล์ที่ใช้บ่อยที่สุด

สำหรับโจทย์ระดับเบื้องต้น ผลลัพธ์ที่มีประโยชน์ที่สุดมีดังนี้:

$$v_x = v_0 \cos \theta$$ $$v_y = v_0 \sin \theta - gt$$

ถ้าวัตถุตกที่ระดับความสูงเดียวกับจุดที่ปล่อย เวลาทั้งหมดที่อยู่ในอากาศคือ

$$T = \frac{2v_0 \sin \theta}{g}$$

ความสูงสูงสุดคือ

$$H = \frac{v_0^2 \sin^2 \theta}{2g}$$

และระยะทางในแนวระดับคือ

$$R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}$$

สูตรหาระยะทางนี้ไม่ได้ใช้ได้ทุกกรณี ใช้ได้เฉพาะกรณีที่จุดเริ่มต้นและจุดตกอยู่ที่ระดับความสูงเท่ากัน และไม่มีแรงต้านอากาศ

ทำไมการเคลื่อนที่แบบโปรเจกไทล์จึงเป็นเส้นโค้ง

ในแบบจำลองพื้นฐาน ความเร็วในแนวระดับคงที่ แต่ความเร็วในแนวดิ่งเปลี่ยนแปลงตลอดเวลา เพราะแรงโน้มถ่วงดึงลงด้านล่างในทุกวินาที

ดังนั้นวัตถุจึงยังเคลื่อนที่ไปข้างหน้าด้วยอัตราคงที่ในแนวระดับ ขณะเดียวกันก็มีความเร็วลงด้านล่างเพิ่มขึ้น การรวมกันของสองอย่างนี้ทำให้เกิดวิถีพาราโบลาที่คุ้นเคย

ตัวอย่างการเคลื่อนที่แบบโปรเจกไทล์

สมมติว่ามีการปล่อยลูกบอลจากพื้นระดับเดียวกันด้วยอัตราเร็ว $20\ \mathrm{m/s}$ ที่มุม $30^\circ$ ให้ละเลยแรงต้านอากาศและใช้ $g = 9.8\ \mathrm{m/s^2}$

เริ่มจากแยกความเร็วต้น:

$$v_{0x} = 20 \cos 30^\circ \approx 17.32\ \mathrm{m/s}$$ $$v_{0y} = 20 \sin 30^\circ = 10\ \mathrm{m/s}$$

เนื่องจากวัตถุตกที่ระดับความสูงเดียวกัน เวลาที่อยู่ในอากาศคือ

$$T = \frac{2(10)}{9.8} \approx 2.04\ \mathrm{s}$$

ดังนั้นระยะทางคือ

$$R = v_{0x} T \approx 17.32 \times 2.04 \approx 35.3\ \mathrm{m}$$

คุณสามารถหาคำตอบเดียวกันได้จากสูตรลัด:

$$R = \frac{20^2 \sin 60^\circ}{9.8} \approx 35.3\ \mathrm{m}$$

ความสูงสูงสุดคือ

$$H = \frac{10^2}{2(9.8)} \approx 5.10\ \mathrm{m}$$

นี่คือขั้นตอนมาตรฐานสำหรับโจทย์การเคลื่อนที่แบบโปรเจกไทล์: แยกความเร็วต้น ตรวจสอบเงื่อนไขเรื่องระดับความสูง แล้วคำนวณปริมาณที่ต้องการ

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยในการทำโจทย์การเคลื่อนที่แบบโปรเจกไทล์

ใช้สูตรหาระยะทางผิดสถานการณ์

$$R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}$$

ใช้ได้เฉพาะเมื่อวัตถุเริ่มต้นและตกที่ระดับความสูงเดียวกัน และละเลยแรงต้านอากาศเท่านั้น ถ้าระดับความสูงตอนตกต่างออกไป ควรกลับไปใช้สมการตำแหน่ง

ปะปนการเคลื่อนที่ในแนวระดับกับแนวดิ่ง

การเคลื่อนที่ในแนวระดับใช้ความเร็วคงที่ในแบบจำลองพื้นฐาน ส่วนการเคลื่อนที่ในแนวดิ่งใช้ความเร่งคงที่ $-g$ ถ้านำกฎของสองแนวนี้มาปนกัน เครื่องหมายและสูตรจะผิดได้อย่างรวดเร็ว

ลืมแยกความเร็วต้น

มุมไม่ได้แทนลงในทุกสมการได้โดยตรง โดยทั่วไปคุณต้องหา

$$v_{0x} = v_0 \cos \theta, \qquad v_{0y} = v_0 \sin \theta$$

ก่อน จึงจะแก้โจทย์ได้อย่างเป็นระบบ

คิดว่าความเร็วในแนวดิ่งเป็นศูนย์ทั้งที่จุดสูงสุดและจุดล่างสุด

ที่จุดสูงสุด ความเร็วในแนวดิ่งเป็นศูนย์สำหรับแบบจำลองพื้นฐาน แต่ตอนเริ่มต้นและตอนตกโดยทั่วไปไม่เป็นศูนย์ สิ่งที่เปลี่ยนคือเครื่องหมายและขนาดของความเร็วตามเวลา

การเคลื่อนที่แบบโปรเจกไทล์ถูกใช้เมื่อใด

การเคลื่อนที่แบบโปรเจกไทล์พบได้ในวิชาฟิสิกส์ โจทย์การขว้างลูกบอล คำถามเกี่ยวกับมุมยิง การประมาณค่าอย่างง่ายทางวิศวกรรม และทุกกรณีที่วัตถุเคลื่อนที่ภายใต้แรงโน้มถ่วงหลังจากถูกปล่อย

นอกจากนี้ยังเป็นสะพานเชื่อมที่ดีระหว่างจลนศาสตร์กับแรง สมการการเคลื่อนที่อธิบายว่าเกิดอะไรขึ้น ส่วนแรงโน้มถ่วงอธิบายว่าทำไมความเร่งในแนวดิ่งจึงชี้ลง

วิธีง่าย ๆ ในการตั้งโจทย์การเคลื่อนที่แบบโปรเจกไทล์ทุกข้อ

ถ้าโจทย์ดูยุ่งยาก ให้ลดรูปเหลือสองคำถาม:

1. ในแนวระดับเกิดอะไรขึ้น?
2. ในแนวดิ่งเกิดอะไรขึ้น?

กรอบคิดแบบนี้มักช่วยให้ตั้งโจทย์ได้ชัดเจนกว่าการท่องจำสูตรแยกเป็นข้อ ๆ

ลองทำโจทย์การเคลื่อนที่แบบโปรเจกไทล์ที่คล้ายกัน

ลองใช้อัตราเร็วต้นเท่าเดิม แต่เปลี่ยนเป็นมุม $45^\circ$ แล้วเปรียบเทียบระยะทางกับกรณี $30^\circ$ ถ้าต้องการตัวช่วยตรวจแนวทางการตั้งโจทย์ GPAI Solver สามารถช่วยคุณตรวจสอบได้ก่อนลงมือคำนวณ