벡터 덧셈

물리에서 벡터 덧셈은 두 개 이상의 벡터를 하나의 합력벡터로 합치는 것을 뜻합니다. 벡터는 크기와 방향을 모두 가지므로 둘 다 추적해야 합니다. 그래서 동쪽으로 $5\ \mathrm{N}$, 북쪽으로 $5\ \mathrm{N}$을 더해도 곧바로 일직선 방향의 $10\ \mathrm{N}$이 되지 않습니다.

대부분의 기초 문제에서 가장 빠르고 확실한 방법은 성분을 더하는 것입니다. 각 벡터를 수평 성분과 수직 성분으로 나누고, 같은 성분끼리 더한 뒤, 그 합으로 최종 벡터를 다시 구합니다.

벡터 덧셈의 의미

스칼라는 크기만으로 더합니다. 벡터는 그렇지 않습니다. 두 벡터가 같은 방향을 가리키면 합력은 더 커집니다. 반대 방향을 가리키면 합력은 더 작아집니다. 각을 이루며 만나면 합력은 그 사이 어딘가의 방향을 가리킵니다.

이 방법은 같은 종류의 벡터일 때만 성립합니다. 변위는 변위와, 힘은 힘과 더할 수 있지만, 힘과 속도를 더할 수는 없습니다.

물리에서 벡터를 더하는 방법

머리-꼬리 방법은 시각적으로 보는 방법입니다. 첫 번째 벡터의 머리에서 두 번째 벡터를 시작해 그립니다. 그러면 첫 번째 벡터의 꼬리에서 마지막 벡터의 머리까지가 합력입니다.

성분법은 계산하는 방법입니다. 각 벡터를 수평 성분과 수직 성분으로 나누고, 그 성분들을 따로 더한 다음, 그 합으로 최종 벡터를 다시 만듭니다. 기호로 쓰면, 합력의 성분이 $R_x$와 $R_y$일 때

$$\vec{R} = (R_x, R_y)$$

크기는

$$|\vec\{R\}| = \sqrt\{R_x^2 + R_y^2\}$$

방향은 성분의 비로부터 구하며, 각을 양의 $x$축에서 잴 때는 보통 $\tan \theta = R_y / R_x$를 사용합니다.

예제: 서로 수직인 두 변위 더하기

한 학생이 동쪽으로 $3\ \mathrm{m}$ 걷고, 이어서 북쪽으로 $4\ \mathrm{m}$ 걸었다고 합시다. 전체 변위는 얼마일까요?

변위는 방향을 가지므로 이것은 벡터 덧셈 문제입니다. 두 변위 벡터를 성분으로 쓰면 다음과 같습니다.

$$\vec{A} = (3, 0)\ \mathrm{m}, \quad \vec{B} = (0, 4)\ \mathrm{m}$$

대응하는 성분끼리 더해 합력을 구합니다.

$$\vec{R} = \vec{A} + \vec{B} = (3, 4)\ \mathrm{m}$$

이제 크기와 방향을 구합니다.

$$|\vec\{R\}| = \sqrt\{3^2 + 4^2\} = 5\ \mathrm\{m\}$$ $$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right) \approx 53^\circ$$

따라서 전체 변위는 동쪽에서 북쪽으로 약 $53^\circ$ 방향의 $5\ \mathrm{m}$입니다. 이 예제는 두 벡터가 서로 수직이어서 성분 그림을 읽기 쉽기 때문에 깔끔하게 풀립니다.

벡터 덧셈에서 자주 하는 실수

방향을 확인하지 않고 크기만 더하기

이 방법은 모든 벡터가 같은 직선 위에 있고 같은 방향을 가리킬 때만 가능합니다. 그렇지 않으면 방향 때문에 결과가 달라집니다.

서로 다른 물리량 섞기

힘은 힘과, 변위는 변위와 더할 수 있습니다. 하지만 힘과 속도는 서로 다른 종류의 물리량이므로 더하면 안 됩니다.

최종 답에서 방향을 빠뜨리기

합력벡터도 여전히 벡터입니다. 문제가 크기만 묻는 것이 아니라면 크기만 쓰는 답은 불완전합니다.

조건에 맞지 않는데 지름길 공식 쓰기

어떤 공식은 특별한 경우에만 성립합니다. 예를 들어 예제의 $3$-$4$-$5$ 삼각형은 성분이 서로 수직이기 때문에 가능한 것이지, 모든 벡터 쌍이 직각삼각형을 이루기 때문은 아닙니다.

물리에서 벡터 덧셈이 쓰이는 곳

벡터 덧셈은 여러 방향 효과가 하나의 결과로 합쳐질 때마다 등장합니다. 대표적인 예로는 여러 번 이동한 뒤의 전체 변위, 물체에 작용하는 알짜힘, 움직이는 매질에 대한 상대속도, 그리고 서로 다른 원천이 만드는 전기장이나 자기장의 기여가 있습니다.

역학에서는 특히 알짜힘을 구할 때 중요합니다. 여러 힘이 한 물체에 작용하면, 그 벡터합이 운동에 대한 전체 효과를 결정합니다.

시작하기 전에 빠르게 확인할 것

계산하기 전에 두 가지를 물어보세요.

1. 이 물리량들은 같은 종류의 벡터인가?
2. 각각의 방향을 벡터 덧셈에 쓸 만큼 분명히 알고 있는가?

두 질문의 답이 모두 예라면, 보통 성분법이 문제를 체계적으로 정리해 줍니다.

비슷한 벡터 덧셈 문제를 풀어보세요

예제를 동쪽으로 $6\ \mathrm{m}$, 북쪽으로 $8\ \mathrm{m}$로 바꿔 보거나, 한 벡터가 동쪽 대신 서쪽을 가리키게 바꿔 보세요. 계산하기 전에 최종 방향을 먼저 예상해 보세요. 더 연습하고 싶다면 숫자를 바꿔 직접 문제를 만들고, 먼저 성분의 합을 비교해 보세요.