Addition de vecteurs

En physique, l’addition de vecteurs consiste à combiner deux vecteurs ou plus en un seul vecteur résultant. Comme un vecteur possède à la fois une norme et une direction, il faut suivre les deux. C’est pourquoi additionner $5\ \mathrm{N}$ vers l’est et $5\ \mathrm{N}$ vers le nord ne donne pas $10\ \mathrm{N}$ en ligne droite.

La méthode la plus rapide et la plus fiable pour la plupart des problèmes d’introduction consiste à additionner les composantes. On décompose chaque vecteur en parties horizontale et verticale, on additionne les parties correspondantes, puis on reconstruit le vecteur final à partir de ces sommes.

Ce que signifie l’addition de vecteurs

Les scalaires s’additionnent uniquement par leur valeur. Les vecteurs, non. Si deux vecteurs pointent dans la même direction, la résultante devient plus grande. S’ils pointent dans des directions opposées, la résultante devient plus petite. S’ils forment un angle, la résultante pointe quelque part entre les deux.

Cela ne fonctionne que lorsque les grandeurs sont du même type de vecteur. On peut additionner un déplacement avec un déplacement ou une force avec une force, mais pas une force avec une vitesse.

Comment additionner des vecteurs en physique

La méthode tête-à-queue est la méthode visuelle. On trace le deuxième vecteur à partir de la tête du premier. La résultante va de la queue du premier vecteur à la tête du dernier.

La méthode des composantes est la méthode de calcul. On décompose chaque vecteur en parties horizontale et verticale, on additionne ces parties séparément, puis on reconstruit le vecteur final à partir des sommes. En notation symbolique, si la résultante a pour composantes $R_x$ et $R_y$, alors

$$\vec{R} = (R_x, R_y)$$

et sa norme vaut

$$|\vec\{R\}| = \sqrt\{R_x^2 + R_y^2\}$$

La direction se déduit du rapport entre les composantes, souvent avec $\tan \theta = R_y / R_x$ lorsque l’angle est mesuré à partir de l’axe positif des $x$.

Exemple résolu : additionner deux déplacements perpendiculaires

Supposons qu’un élève marche $3\ \mathrm{m}$ vers l’est, puis $4\ \mathrm{m}$ vers le nord. Quel est le déplacement total ?

C’est un problème d’addition de vecteurs parce qu’un déplacement a une direction. Écrivons les deux vecteurs déplacement sous forme de composantes :

$$\vec{A} = (3, 0)\ \mathrm{m}, \quad \vec{B} = (0, 4)\ \mathrm{m}$$

Additionnons les composantes correspondantes pour obtenir la résultante :

$$\vec{R} = \vec{A} + \vec{B} = (3, 4)\ \mathrm{m}$$

Calculons maintenant la norme et la direction :

$$|\vec\{R\}| = \sqrt\{3^2 + 4^2\} = 5\ \mathrm\{m\}$$ $$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right) \approx 53^\circ$$

Le déplacement total est donc de $5\ \mathrm{m}$ à environ $53^\circ$ au nord de l’est. Cet exemple est simple à lire parce que les deux vecteurs sont perpendiculaires, donc la représentation en composantes est facile à interpréter.

Erreurs fréquentes dans l’addition de vecteurs

Additionner les normes sans vérifier la direction

Cela ne fonctionne que lorsque tous les vecteurs sont sur la même ligne et pointent dans la même direction. Sinon, la direction modifie le résultat.

Mélanger des grandeurs physiques différentes

On peut additionner une force avec une force ou un déplacement avec un déplacement. On ne doit pas additionner une force avec une vitesse, car ce sont des grandeurs de nature différente.

Oublier la direction dans la réponse finale

Un vecteur résultant reste un vecteur. Donner seulement la norme est incomplet, sauf si l’énoncé demande explicitement uniquement la valeur.

Utiliser une formule rapide hors de son domaine de validité

Certaines formules ne fonctionnent que dans des cas particuliers. Par exemple, le triangle $3$-$4$-$5$ de l’exemple fonctionne parce que les composantes sont perpendiculaires, et non parce que chaque paire de vecteurs forme un triangle rectangle.

Où l’addition de vecteurs est utilisée en physique

L’addition de vecteurs apparaît chaque fois que plusieurs effets directionnels se combinent en un seul résultat. Parmi les exemples courants, on trouve le déplacement total après plusieurs mouvements, la force nette sur un objet, la vitesse relative par rapport à un milieu en mouvement, ainsi que les contributions au champ électrique ou magnétique provenant de différentes sources.

En mécanique, cette idée est particulièrement importante pour la force nette. Si plusieurs forces agissent sur un même objet, leur somme vectorielle détermine l’effet global sur le mouvement.

Une vérification rapide avant de commencer

Avant de calculer, posez-vous deux questions :

1. Ces grandeurs sont-elles le même type de vecteur ?
2. Est-ce que je connais assez clairement la direction de chacune pour pouvoir les additionner ?

Si les deux réponses sont oui, la méthode des composantes permet généralement de garder le problème bien organisé.

Essayez un problème similaire d’addition de vecteurs

Modifiez l’exemple en prenant $6\ \mathrm{m}$ vers l’est et $8\ \mathrm{m}$ vers le nord, ou faites pointer un vecteur vers l’ouest au lieu de l’est, puis prévoyez la direction finale avant de calculer. Si vous voulez un autre cas pour vous entraîner, essayez votre propre version avec de nouvelles valeurs et comparez d’abord les sommes des composantes.