ベクトルの足し算

物理におけるベクトルの足し算とは、2つ以上のベクトルを1つの合成ベクトルにまとめることです。ベクトルには大きさと向きの両方があるので、その両方を追う必要があります。だから、東向きに $5\ \mathrm{N}$ と北向きに $5\ \mathrm{N}$ を足しても、一直線上の $10\ \mathrm{N}$ にはなりません。

初学者向けの多くの問題で、最も手早く確実な方法は成分を足すことです。各ベクトルを水平方向と鉛直方向の成分に分け、対応する成分どうしを足し、その和から最後のベクトルを組み立てます。

ベクトルの足し算とは何か

スカラーは大きさだけで足せます。ベクトルはそうではありません。2つのベクトルが同じ向きを向いていれば、合成ベクトルは大きくなります。反対向きなら、合成ベクトルは小さくなります。角度をなしているなら、合成ベクトルの向きはその中間になります。

これは、同じ種類のベクトルどうしである場合にだけ成り立ちます。変位と変位、力と力は足せますが、力と速度は足せません。

物理でベクトルを足す方法

矢印をつなぐ方法 は図で考える方法です。1本目のベクトルの先端から2本目のベクトルを描きます。合成ベクトルは、最初のベクトルの始点から最後のベクトルの終点までを結ぶものです。

成分法 は計算で求める方法です。各ベクトルを水平方向と鉛直方向の成分に分け、それらを別々に足してから、その和を使って最後のベクトルを組み立てます。記号で書くと、合成ベクトルの成分が $R_x$ と $R_y$ なら、

$$\vec{R} = (R_x, R_y)$$

その大きさは

$$|\vec\{R\}| = \sqrt\{R_x^2 + R_y^2\}$$

向きは成分の比から求めます。角度を正の $x$ 軸から測るときは、しばしば $\tan \theta = R_y / R_x$ を使います。

例題：直交する2つの変位を足す

ある生徒が東に $3\ \mathrm{m}$ 歩き、その後北に $4\ \mathrm{m}$ 歩いたとします。全体の変位はどれだけでしょうか。

これは、変位には向きがあるのでベクトルの足し算の問題です。2つの変位ベクトルを成分で表すと、

$$\vec{A} = (3, 0)\ \mathrm{m}, \quad \vec{B} = (0, 4)\ \mathrm{m}$$

対応する成分を足して合成ベクトルを求めると、

$$\vec{R} = \vec{A} + \vec{B} = (3, 4)\ \mathrm{m}$$

次に、大きさと向きを求めます。

$$|\vec\{R\}| = \sqrt\{3^2 + 4^2\} = 5\ \mathrm\{m\}$$ $$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right) \approx 53^\circ$$

したがって、全体の変位は東から北へ約 $53^\circ$ の向きに $5\ \mathrm{m}$ です。この例がすっきり解けるのは、2つのベクトルが直交していて、成分での見通しがよいからです。

ベクトルの足し算でよくある間違い

向きを確認せずに大きさだけを足す

これは、すべてのベクトルが同一直線上にあり、しかも同じ向きを向いているときにしか成り立ちません。そうでなければ、向きによって結果は変わります。

異なる物理量を混ぜる

力と力、変位と変位は足せます。力と速度は種類の異なる量なので、足してはいけません。

最後の答えで向きを落とす

合成ベクトルもベクトルです。問題が大きさだけを明示的に求めているのでない限り、大きさだけでは不十分です。

条件に合わない近道を使う

特別な場合にしか使えない公式もあります。たとえば、例の $3$-$4$-$5$ の三角形が使えたのは、成分が直交していたからであって、どんな2つのベクトルでも直角三角形になるからではありません。

物理でベクトルの足し算が使われる場面

ベクトルの足し算は、いくつかの向きをもつ効果が1つの結果にまとまるときに現れます。代表例としては、何回か移動したあとの全変位、物体にはたらく合力、動いている媒質に対する相対速度、異なる電荷や磁源による電場・磁場の寄与などがあります。

力学では、特に合力を考えるときに重要です。1つの物体に複数の力がはたらくとき、それらのベクトル和が運動全体への効果を決めます。

始める前の簡単な確認

計算する前に、次の2つを自分に問いかけてみましょう。

1. これらは同じ種類のベクトルか。
2. それぞれの向きが、足し合わせられるほどはっきり分かっているか。

両方が「はい」なら、たいていは成分法で整理して解けます。

似たベクトルの足し算の問題に挑戦してみよう

例を、東に $6\ \mathrm{m}$、北に $8\ \mathrm{m}$ に変えてみるか、片方のベクトルを東ではなく西向きにしてみましょう。そして計算する前に、最後の向きを予想してみてください。さらに練習したいなら、自分で新しい数値の問題を作り、まず成分の和を比べてみましょう。