ทฤษฎีบทพีทาโกรัส — สูตรและแบบฝึกหัด

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสกล่าวว่า ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก กำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากจะเท่ากับผลรวมของกำลังสองของด้านประกอบมุมฉากทั้งสองด้าน หากให้ $a$ และ $b$ เป็นด้านประกอบมุมฉาก และ $c$ เป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก สูตรคือ

$a^2 + b^2 = c^2$

คุณจะใช้สูตรนี้ได้ก็ต่อเมื่อมีมุม $90^\circ$ เท่านั้น โดยด้านตรงข้ามมุมฉากคือด้านที่อยู่ตรงข้ามกับมุมนั้น และจะเป็นด้านที่ยาวที่สุดเสมอ

สูตรนี้บอกอะไรเราและควรใช้เมื่อไหร่

ใจความสำคัญไม่ใช่แค่เรื่องของ $a + b = c$ แต่เป็นความสัมพันธ์ระหว่างพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ทฤษฎีนี้เปรียบเทียบพื้นที่ที่เกี่ยวข้องกับด้านต่างๆ จึงเป็นที่มาของ $a^2$, $b^2$ และ $c^2$

หากรูปสามเหลี่ยมนั้นไม่ใช่สามเหลี่ยมมุมฉาก สูตรนี้จะไม่สามารถนำมาใช้ได้โดยตรง ดังนั้น สิ่งแรกที่ควรตรวจสอบก่อนแทนค่าตัวเลขคือ รูปสามเหลี่ยมนั้นเป็นมุมฉากหรือไม่

วิธีแยกแยะด้านประกอบมุมฉากและด้านตรงข้ามมุมฉาก

ก่อนเริ่มคำนวณ การระบุชื่อด้านให้ถูกต้องเป็นเรื่องสำคัญมาก เพราะจะช่วยป้องกันข้อผิดพลาดในการตั้งสมการได้เกือบทั้งหมด

• ด้านประกอบมุมฉาก (Catetos): ด้านสองด้านที่ประกอบกันเป็นมุมฉาก
• ด้านตรงข้ามมุมฉาก (Hipotenusa): ด้านที่อยู่ตรงข้ามกับมุมฉาก

หากคุณนำด้านอื่นไปแทนที่ $c$ แม้ว่าการคำนวณจะดูเป็นระเบียบ แต่คำตอบที่ได้จะผิดตั้งแต่เริ่มต้น

ตัวอย่างการคำนวณ: การหาความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก

สมมติว่ามีรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านประกอบมุมฉากยาว $6$ ซม. และ $8$ ซม. เราต้องการหาความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก

ตั้งสมการตามสูตร:

$6^2 + 8^2 = c^2$

คำนวณค่า:

$36 + 64 = c^2$

หาผลรวม:

$100 = c^2$

ถอดรากที่สอง (ค่าบวก):

$c = 10$

ดังนั้น ด้านตรงข้ามมุมฉากยาว $10$ ซม. ซึ่งผลลัพธ์นี้สมเหตุสมผลเพราะต้องยาวกว่า $6$ ซม. และ $8$ ซม.

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยในการใช้ทฤษฎีบทนี้

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุดคือการนำทฤษฎีนี้ไปใช้กับรูปสามเหลี่ยมที่ไม่ใช่มุมฉาก หากไม่มีมุมฉาก ความสัมพันธ์นี้จะใช้ไม่ได้โดยทั่วไป

อีกหนึ่งข้อผิดพลาดคือการสับสนระหว่างด้านตรงข้ามมุมฉากกับด้านประกอบมุมฉาก จำไว้ว่า $c$ ไม่ใช่ด้านใดก็ได้ แต่ต้องเป็นด้านที่อยู่ตรงข้ามกับมุมฉากเท่านั้น

นอกจากนี้ ควรแยกแยะให้ชัดเจนว่าคุณกำลังหาด้านไหน หากต้องการหาด้านประกอบมุมฉาก คุณจะต้องไม่นำกำลังสองของสองด้านมาบวกกัน ตัวอย่างเช่น หากคุณทราบค่า $c$ และ $b$ สมการจะเป็น:

$a^2 = c^2 - b^2$

อีกจุดที่มักพลาดคือการหยุดคำนวณเร็วเกินไป หากคุณคำนวณได้ถึง $c^2 = 100$ ความยาวที่ต้องการคือ $c = 10$ ไม่ใช่ $100$

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสใช้ที่ไหนบ้าง

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสปรากฏอยู่ในวิชาเรขาคณิตพื้นฐาน การหาเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า และปัญหาการหาระยะทางบนตารางหรือในระนาบคาร์ทีเซียน (Cartesian plane)

ตัวอย่างเช่น หากคุณเคลื่อนที่ในแนวราบ $3$ หน่วย และแนวตั้ง $4$ หน่วย ระยะทางตรงจากจุดเริ่มต้นถึงจุดสิ้นสุดคือ

$\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$

แนวคิดเดียวกันนี้จะปรากฏอีกครั้งในสูตรการหาระยะทางระหว่างจุดสองจุด

สิ่งที่ควรจำ

ก่อนใช้สูตร ให้ตรวจสอบสองสิ่งนี้: มีมุมฉากหรือไม่ และคุณระบุด้านตรงข้ามมุมฉากถูกต้องหรือไม่ หากเงื่อนไขเหล่านี้ครบถ้วน ทฤษฎีบทพีทาโกรัสคือเครื่องมือที่ถูกต้องในการแก้ปัญหา

ลองทำแบบฝึกหัดที่คล้ายกัน

ลองหาความยาวด้านตรงข้ามมุมฉากของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านประกอบมุมฉากยาว $5$ และ $12$ หากคุณใช้สูตรได้ถูกต้อง คุณควรจะได้คำตอบเป็น $13$

หากคุณต้องการท้าทายตัวเองมากขึ้น ลองศึกษาปัญหาการหาระยะทางระหว่างจุดสองจุด ซึ่งใช้แนวคิดเดียวกันนี้แต่ประยุกต์ใช้บนระนาบ