Pole powierzchni stożka — wzór, tworząca i przykład

Aby obliczyć pole powierzchni stożka, dodaj pole kołowej podstawy i pole powierzchni bocznej. Dla stożka prostego kołowego o promieniu $r$ i tworzącej $l$, całkowite pole powierzchni wynosi

$$A = \pi r^2 + \pi r l$$

Ten sam wzór można też zapisać jako

$$A = \pi r(r+l)$$

Tutaj $\pi r^2$ to pole podstawy, a $\pi r l$ to pole powierzchni bocznej. Jeśli w zadaniu trzeba obliczyć tylko pole powierzchni bocznej, pomiń składnik odpowiadający podstawie.

Całkowite pole powierzchni a pole powierzchni bocznej

Stożek ma dwie zewnętrzne części: jedną kołową podstawę i jedną powierzchnię boczną. Całkowite pole powierzchni oznacza obie te części razem.

Dlatego wzór rozdziela się na

$$\text{całkowite pole powierzchni} = \text{pole podstawy} + \text{pole powierzchni bocznej}$$ $$A = \pi r^2 + \pi r l$$

Jeśli potrzebujesz tylko pola powierzchni bocznej, użyj

$$A = \pi r l$$

Ten wzór dotyczy stożka prostego kołowego. W geometrii szkolnej jest to zwykle domyślne założenie, chyba że w zadaniu podano inaczej.

Dlaczego we wzorze używa się tworzącej

We wzorze występuje tworząca $l$, a nie wysokość $h$. Tworząca biegnie po boku stożka od krawędzi podstawy do wierzchołka.

Jeśli stożek jest prosty kołowy i znasz $r$ oraz $h$, to tworzącą możesz obliczyć z trójkąta prostokątnego wewnątrz stożka:

$$l = \sqrt{r^2 + h^2}$$

Ten krok jest poprawny, ponieważ promień, wysokość i tworząca tworzą w stożku prostym trójkąt prostokątny.

Przykład: promień $4$ cm, wysokość $3$ cm

Załóżmy, że stożek prosty kołowy ma promień $4$ cm i wysokość $3$ cm. Ponieważ we wzorze na pole powierzchni potrzebna jest tworząca, najpierw oblicz $l$:

$$l = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$$

Teraz użyj wzoru na całkowite pole powierzchni:

$$A = \pi r^2 + \pi r l$$

Podstaw $r = 4$ oraz $l = 5$:

$$A = \pi(4^2) + \pi(4)(5)$$ $$A = 16\pi + 20\pi = 36\pi$$

Zatem dokładne całkowite pole powierzchni wynosi

$$36\pi\ \text{cm}^2$$

Jeśli potrzebujesz przybliżenia dziesiętnego,

$$36\pi \approx 113.1\ \text{cm}^2$$

Ten przykład dobrze nadaje się do sprawdzenia wyniku, ponieważ podstawa daje $16\pi$, a część boczna $20\pi$. Ich suma to $36\pi$.

Typowe błędy w zadaniach o polu powierzchni stożka

Użycie wysokości zamiast tworzącej we wzorze

Wyrażenie $\pi r^2 + \pi r l$ zawiera tworzącą. Jeśli wstawisz $h$ zamiast $l$, wynik zwykle będzie błędny.

Pominięcie informacji, czy podstawa jest wliczana

W niektórych zadaniach trzeba obliczyć całkowite pole powierzchni, a w innych tylko pole powierzchni bocznej. Całkowite pole powierzchni obejmuje podstawę. Pole powierzchni bocznej jej nie obejmuje.

Pomylenie promienia ze średnicą

Jeśli podana jest średnica podstawy, podziel ją przez $2$, zanim użyjesz wzoru. Symbol $r$ zawsze oznacza promień.

Brak jednostek kwadratowych

Pole powierzchni mierzy pokrycie powierzchni, więc końcowy wynik powinien być podany w jednostkach kwadratowych, takich jak $\text{cm}^2$, $\text{m}^2$ lub $\text{in}^2$.

Kiedy używa się pola powierzchni stożka

Pola powierzchni stożka używa się wtedy, gdy interesuje Cię materiał pokrywający zewnętrzną część obiektu o kształcie stożka. W geometrii zwykle chodzi o zadania z pomiarami z podręcznika. W praktyce może to się pojawić przy szacowaniu ilości papieru, metalu, tkaniny lub powłoki dla kształtów zbliżonych do stożków.

Także tutaj warunki mają znaczenie. Jeśli obiekt jest otwarty od spodu, liczyć trzeba może tylko powierzchnię boczną. Jeśli obiektu nie da się dobrze opisać jako stożka prostego kołowego, standardowy wzór jest tylko przybliżeniem albo nie da się go zastosować bezpośrednio.

Szybki sposób na zapamiętanie wzoru

Pomyśl: podstawa plus bok.

$$\text{pole powierzchni stożka} = \pi r^2 + \pi r l$$

Pierwszy składnik to koło na dole. Drugi składnik to zakrzywiona powierzchnia otaczająca stożek.

Spróbuj podobnego zadania

Spróbuj samodzielnie rozwiązać wersję z promieniem $6$ cm i wysokością $8$ cm. Najpierw oblicz tworzącą, a potem pole powierzchni bocznej i całkowite pole powierzchni. Jeśli chcesz jeszcze raz sprawdzić wynik, rozwiąż podobne zadanie w GPAI Solver.