直線のグラフ：$y = mx + c$ と平行線

直線のグラフは、変化の割合が一定の一次関係を表します。よく使われる形 $y = mx + c$ では、$m$ は傾き、$c$ は $y$ 切片を表すので、直線がどのような形になるかや、2本の直線が平行かどうかをすぐに読み取れます。

$y = mx + c$ でわかること

式

$$y = mx + c$$

では、$m$ は傾きです。勾配と呼ばれることもあり、$x$ が $1$ 増えたときに $y$ がどれだけ変化するかを表します。

$c$ は $y$ 切片です。これは $x = 0$ のときの $y$ の値なので、直線は $(0, c)$ で $y$ 軸と交わります。

この形で表せるのは、垂直でない直線です。垂直な直線も直線ですが、$x = 4$ のような式で表されるため、$y = mx + c$ の形には書けません。

傾きがグラフをどう変えるか

$m$ が正なら、直線は左から右へ上がります。$m$ が負なら、直線は左から右へ下がります。$m = 0$ なら、直線は水平です。

たとえば

$$y = 3x + 2$$

なら、$x$ が $1$ 増えるたびに $y$ は $3$ 増えます。直線は $(0, 2)$ で $y$ 軸と交わるので、原点より $2$ だけ上から始まります。

例題：$y = 2x + 1$ のグラフ

次の直線を考えます。

$$y = 2x + 1$$

まず切片を見ます。$x = 0$ のとき $y = 1$ なので、この直線は $(0, 1)$ を通ります。

次に傾きを使います。$m = 2$ なので、右に $1$ 進むと $y$ は $2$ 増えます。すると2つ目の点は $(1, 3)$ です。

同じように、もう1点確かめることもできます。

$$x = 2 \Rightarrow y = 2(2) + 1 = 5$$

したがって、$(2, 5)$ も同じ直線上にあります。正しい2点がわかれば、それらを通る直線を引けます。

2本の直線が平行かどうかの見分け方

垂直でない2本の直線は、傾きが同じで切片が異なるとき平行です。

たとえば

$$y = 2x + 1$$

と

$$y = 2x - 3$$

は、どちらも傾きが $2$ なので平行です。同じ割合で上がっていくため、交わることはありません。切片が異なるので、同じ直線ではなく別々の直線です。

この考え方には、垂直な直線の場合もあります。$x = 1$ と $x = 5$ のような直線どうしも平行です。

直線のグラフでよくある間違い

$c$ と $x$ 切片を混同する

$y = mx + c$ では、$c$ は $x$ 切片ではなく $y$ 切片です。これは、直線が $y$ 軸とどこで交わるかを表します。

傾きが同じなら必ず別の平行線だと思い込む

2つの式で傾きも切片も同じなら、それらは同じ直線です。垂直でない2本の異なる直線が平行になるには、傾きが同じで、切片は異ならなければなりません。

垂直な直線を忘れる

$y = mx + c$ は垂直な直線を表しません。グラフが垂直な直線なら、その式は $x = a$ の形になります。

直線のグラフはどこで使われるか

直線のグラフは、ある量が別の量に対して一定の割合で変化するときに現れます。よくある例としては、基本料金に1個あたりの料金を足すモデル、一定の速さで進む距離、一次式で表される単位変換などがあります。

直線のグラフが大切なのは、代数とグラフを直接結びつけてくれるからです。式を見れば変化の規則がわかり、グラフを見ればその様子を視覚的に確認できます。

似た問題に挑戦しよう

たとえば $y = -x + 4$ と $y = -x - 1$ のように、同じ傾きをもつ2つの式を書いてみましょう。まず切片を打ち、次に傾きを使ってそれぞれの直線上のもう1点を求めます。傾きが同じだと平行線になることがわかります。

別の例も試したいなら、ワークシートの問題を1つ選び、グラフ・傾き・切片がすべて一致しているかを確かめてみましょう。