직선 그래프: $y = mx + c$와 평행선

직선 그래프는 변화율이 일정하게 유지되는 선형 관계를 나타냅니다. 흔히 쓰는 형태인 $y = mx + c$에서 $m$은 기울기, $c$는 $y$절편을 뜻하므로 직선의 모양과 두 직선이 평행한지 빠르게 파악할 수 있습니다.

$y = mx + c$가 알려 주는 것

식

$$y = mx + c$$

에서 $m$은 기울기입니다. 경사도라고도 하며, $x$가 $1$만큼 증가할 때 $y$가 얼마나 변하는지를 나타냅니다.

$c$는 $y$절편입니다. 즉 $x = 0$일 때의 $y$값이므로, 직선은 $(0, c)$에서 $y$축과 만납니다.

이 형태는 수직선이 아닌 직선을 나타냅니다. 수직선도 직선이지만 식이 $x = 4$처럼 되므로 $y = mx + c$ 형태로 쓸 수는 없습니다.

기울기가 그래프를 어떻게 바꾸는가

$m$이 양수이면 직선은 왼쪽에서 오른쪽으로 올라갑니다. $m$이 음수이면 왼쪽에서 오른쪽으로 내려갑니다. $m = 0$이면 직선은 수평입니다.

예를 들어

$$y = 3x + 2$$

라면 $x$가 $1$ 증가할 때마다 $y$는 $3$ 증가합니다. 이 직선은 $(0, 2)$에서 $y$축과 만나므로 원점보다 $2$만큼 위에서 시작합니다.

예제: $y = 2x + 1$의 그래프 그리기

다음 직선을 봅시다.

$$y = 2x + 1$$

먼저 절편을 봅니다. $x = 0$일 때 $y = 1$이므로, 이 직선은 $(0, 1)$을 지납니다.

이제 기울기를 사용합니다. $m = 2$이므로 오른쪽으로 $1$칸 이동하면 $y$는 $2$ 증가합니다. 그래서 두 번째 점은 $(1, 3)$입니다.

같은 방법으로 점을 하나 더 확인할 수 있습니다.

$$x = 2 \Rightarrow y = 2(2) + 1 = 5$$

따라서 $(2, 5)$도 같은 직선 위의 점입니다. 올바른 두 점만 있으면 그 점들을 지나는 직선을 그릴 수 있습니다.

두 직선이 평행한지 판단하는 방법

수직선이 아닌 두 직선은 기울기가 같고 절편이 다르면 서로 평행합니다.

예를 들어

$$y = 2x + 1$$

과

$$y = 2x - 3$$

은 둘 다 기울기가 $2$이므로 평행합니다. 같은 비율로 올라가기 때문에 서로 만나지 않습니다. 절편은 다르므로 같은 직선이 아니라 서로 다른 두 직선입니다.

이와 비슷한 수직선의 경우도 있습니다. 예를 들어 $x = 1$과 $x = 5$는 서로 평행합니다.

직선 그래프에서 자주 하는 실수

$c$와 $x$절편을 혼동하기

$y = mx + c$에서 $c$는 $x$절편이 아니라 $y$절편입니다. 즉 직선이 $y$축과 어디서 만나는지를 알려 줍니다.

기울기가 같으면 항상 서로 다른 평행선이라고 생각하기

두 식의 기울기와 절편이 모두 같다면, 그것들은 같은 직선입니다. 서로 다른 두 수직선이 아닌 직선이 평행하려면 기울기는 같고 절편은 달라야 합니다.

수직선을 잊어버리기

$y = mx + c$는 수직선을 나타내지 않습니다. 그래프가 수직인 직선이라면 식은 $x = a$ 형태입니다.

직선 그래프는 어디에 쓰일까

직선 그래프는 한 양이 다른 양에 대해 일정한 비율로 변할 때 나타납니다. 대표적인 예로는 기본요금에 개당 비용이 더해지는 가격 모델, 일정한 속력으로 이동한 거리, 그리고 일차식 형태로 나타내는 단위 변환이 있습니다.

직선 그래프가 중요한 이유는 대수와 그래프를 직접 연결해 주기 때문입니다. 식은 규칙을 알려 주고, 그래프는 그 모습을 눈으로 보이게 해 줍니다.

비슷한 문제를 풀어 보세요

예를 들어 $y = -x + 4$와 $y = -x - 1$처럼 기울기가 같은 두 식을 써 보세요. 먼저 절편을 찍고, 그다음 기울기를 이용해 각 직선의 두 번째 점을 찾으세요. 기울기가 같으면 평행선이 만들어진다는 것을 확인할 수 있습니다.

다른 경우도 살펴보고 싶다면, 학습지에서 비슷한 문제를 골라 그래프, 기울기, 절편이 모두 서로 맞는지 확인해 보세요.