Wykresy funkcji liniowej: $y = mx + c$ i proste równoległe

Wykresy prostych pokazują zależności liniowe, w których tempo zmian pozostaje stałe. W popularnej postaci $y = mx + c$ liczba $m$ oznacza nachylenie, a $c$ punkt przecięcia z osią $y$, więc można szybko zobaczyć, jak zachowuje się prosta i czy dwie proste są równoległe.

Co mówi równanie $y = mx + c$

W równaniu

$$y = mx + c$$

$m$ to nachylenie prostej, nazywane też współczynnikiem kierunkowym. Określa, o ile zmienia się $y$, gdy $x$ wzrasta o $1$.

$c$ to punkt przecięcia z osią $y$. Jest to wartość $y$, gdy $x = 0$, więc prosta przecina oś $y$ w punkcie $(0, c)$.

Ta postać opisuje niewertykalne proste. Proste pionowe też są prostymi, ale mają równania takie jak $x = 4$, więc nie można ich zapisać w postaci $y = mx + c$.

Jak nachylenie zmienia wykres

Jeśli $m$ jest dodatnie, prosta rośnie z lewej do prawej. Jeśli $m$ jest ujemne, prosta maleje z lewej do prawej. Jeśli $m = 0$, prosta jest pozioma.

Na przykład, jeśli

$$y = 3x + 2$$

to za każdym razem, gdy $x$ wzrasta o $1$, $y$ wzrasta o $3$. Prosta przecina oś $y$ w punkcie $(0, 2)$, więc zaczyna się $2$ jednostki powyżej początku układu współrzędnych.

Przykład: narysuj wykres $y = 2x + 1$

Weźmy prostą

$$y = 2x + 1$$

Zacznij od punktu przecięcia z osią. Gdy $x = 0$, $y = 1$, więc prosta przechodzi przez punkt $(0, 1)$.

Teraz użyj nachylenia. Ponieważ $m = 2$, przesunięcie o $1$ jednostkę w prawo zwiększa $y$ o $2$. To daje drugi punkt: $(1, 3)$.

Możesz w ten sam sposób sprawdzić jeszcze jeden punkt:

$$x = 2 \Rightarrow y = 2(2) + 1 = 5$$

Zatem punkt $(2, 5)$ leży na tej samej prostej. Gdy masz już dwa poprawne punkty, możesz poprowadzić przez nie prostą.

Jak rozpoznać, czy dwie proste są równoległe

Dwie niewertykalne proste są równoległe, gdy mają to samo nachylenie i różne punkty przecięcia z osią $y$.

Na przykład

$$y = 2x + 1$$

oraz

$$y = 2x - 3$$

są równoległe, ponieważ obie mają nachylenie $2$. Rosną w tym samym tempie, więc nigdy się nie przetną. Ich punkty przecięcia z osią są różne, więc są to różne proste, a nie ta sama prosta.

Istnieje też pionowa wersja tej samej zasady. Proste takie jak $x = 1$ i $x = 5$ są do siebie równoległe.

Typowe błędy przy wykresach prostych

Mylenie $c$ z miejscem zerowym

W równaniu $y = mx + c$ liczba $c$ to punkt przecięcia z osią $y$, a nie z osią $x$. Mówi, gdzie prosta przecina oś $y$.

Zakładanie, że równe nachylenia zawsze oznaczają różne proste równoległe

Jeśli dwa równania mają to samo nachylenie i ten sam punkt przecięcia z osią, opisują tę samą prostą. Aby dwie różne niewertykalne proste były równoległe, nachylenia muszą być takie same, a punkty przecięcia z osią różne.

Zapominanie o prostych pionowych

$y = mx + c$ nie opisuje prostych pionowych. Jeśli wykres jest pionową prostą, jego równanie ma postać $x = a$.

Gdzie wykorzystuje się wykresy prostych

Wykresy prostych pojawiają się wszędzie tam, gdzie jedna wielkość zmienia się w stałym tempie względem drugiej. Typowe przykłady to modele z ceną stałą i kosztem za sztukę, droga przebyta ze stałą prędkością oraz przeliczenia jednostek zapisane w postaci liniowej.

Są ważne, ponieważ w prosty sposób łączą algebrę z wykresami: równanie pokazuje zależność, a wykres pozwala ją zobaczyć.

Spróbuj podobnego zadania

Zapisz dwa równania o tym samym nachyleniu, na przykład $y = -x + 4$ oraz $y = -x - 1$. Najpierw zaznacz punkt przecięcia z osią, a potem użyj nachylenia, aby wyznaczyć drugi punkt dla każdej prostej. Zobaczysz, że jednakowe nachylenia tworzą proste równoległe.

Jeśli chcesz przećwiczyć inny przypadek, spróbuj własnego przykładu z karty pracy i sprawdź, czy wykres, nachylenie i punkt przecięcia z osią są ze sobą zgodne.