สมบัติของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

สามเหลี่ยมหน้าจั่วมีด้านยาวเท่ากันสองด้าน สมบัติสำคัญนั้นเข้าใจได้ง่ายมาก คือมุมที่อยู่ตรงข้ามด้านที่ยาวเท่ากันจะเท่ากันด้วย ดังนั้นมุมฐานทั้งสองจึงมีขนาดเท่ากัน ถ้าคุณลากเส้นตั้งฉากจากมุมยอดลงมายังฐานเพิ่มเติม สามเหลี่ยมจะถูกแบ่งเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากที่เท่ากันทุกประการสองรูป ซึ่งช่วยให้โจทย์เรขาคณิตหลายข้อทำได้ง่ายขึ้น

สามเหลี่ยมหน้าจั่วมีสมบัติอะไรบ้าง

สมมติว่าสามเหลี่ยม $ABC$ มี $AB = AC$ ดังนั้นด้าน $BC$ คือฐาน และมุมฐานที่จุด $B$ กับ $C$ จะเท่ากัน

ข้อเท็จจริงที่มีประโยชน์อีกอย่างหนึ่งขึ้นอยู่กับเส้นตรงเฉพาะเส้นหนึ่ง ถ้าคุณลากเส้นตั้งฉากจาก $A$ ลงมายังฐาน $BC$ เส้นนั้นจะ:

1. เป็นเส้นสูง เพราะตัดกับฐานที่มุม $90^\circ$
2. เป็นเส้นมัธยฐานของฐาน เพราะแบ่ง $BC$ ออกเป็นสองส่วนเท่ากัน
3. เป็นเส้นแบ่งครึ่งมุมยอดที่ $A$

สมบัติเพิ่มเติมเหล่านี้เกิดจากความสมมาตร และไม่ได้ใช้ได้กับเส้นสูงทุกเส้นในสามเหลี่ยมทุกแบบ

ทำไมเส้นตั้งฉากจึงช่วยได้มาก

เส้นตั้งฉากทำให้สามเหลี่ยมหน้าจั่วหนึ่งรูปกลายเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากที่เท่ากันสองรูป นั่นหมายความว่าคุณสามารถใช้แนวคิดของสามเหลี่ยมมุมฉาก โดยเฉพาะทฤษฎีพีทาโกรัส แทนการทำงานกับสามเหลี่ยมทั้งรูปในครั้งเดียว

วิธีนี้ใช้ได้ก็ต่อเมื่อเส้นตั้งฉากถูกลากจากมุมยอดระหว่างด้านที่ยาวเท่ากันลงมายังฐานเท่านั้น ถ้าคุณลากเส้นอื่น คุณไม่ควรสมมติว่าเส้นนั้นจะมีทั้งสามบทบาทตามที่กล่าวไว้ข้างต้น

ตัวอย่างโจทย์: หาความสูงและพื้นที่

สมมติว่าสามเหลี่ยมหน้าจั่วมีความยาวด้านเป็น $5$, $5$ และ $6$

ด้านที่ยาวเท่ากันคือ $5$ และ $5$ ดังนั้นฐานคือ $6$ ลากเส้นตั้งฉากจากมุมยอดลงมายังฐาน ในสามเหลี่ยมหน้าจั่ว เส้นตั้งฉากนี้จะแบ่งฐานออกเป็นสองส่วนเท่ากัน ดังนั้นแต่ละครึ่งยาว $3$

ตอนนี้ใช้สามเหลี่ยมมุมฉากรูปใดรูปหนึ่ง ให้ความสูงเป็น $h$ จะได้ว่า:

$$h^2 + 3^2 = 5^2$$ $$h^2 + 9 = 25$$ $$h^2 = 16$$ $$h = 4$$

ดังนั้นความสูงคือ $4$ จากนั้นใช้สูตรหาพื้นที่สามเหลี่ยม:

$$A = \frac{1}{2}bh = \frac{1}{2}(6)(4) = 12$$

พื้นที่เท่ากับ $12$ ตารางหน่วย

บทกลับที่พบบ่อย

แนวคิดย้อนกลับก็สำคัญเช่นกัน ถ้ามุมสองมุมในสามเหลี่ยมมีขนาดเท่ากัน ด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมทั้งสองนั้นก็จะยาวเท่ากัน ดังนั้นสามเหลี่ยมนั้นจึงเป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

บทกลับนี้มักพบในโจทย์พิสูจน์ บางครั้งโจทย์ให้ข้อมูลเกี่ยวกับมุมมาก่อน แล้วคาดหวังให้คุณสรุปว่าด้านสองด้านต้องยาวเท่ากัน

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยเกี่ยวกับสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

1. คิดว่าเส้นสูงใด ๆ ในสามเหลี่ยมใด ๆ ก็จะแบ่งด้านตรงข้ามออกเป็นสองส่วนเท่ากัน
2. สับสนว่ามุมใดเท่ากัน มุมที่เท่ากันคือมุมที่อยู่ตรงข้ามด้านที่ยาวเท่ากัน
3. ใช้สมบัติของเส้นตั้งฉากโดยไม่ตรวจสอบก่อนว่าสามเหลี่ยมนั้นเป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่วจริงหรือไม่
4. ลืมไปว่าหนังสือบางเล่มนิยามสามเหลี่ยมหน้าจั่วว่าเป็นสามเหลี่ยมที่มีอย่างน้อยสองด้านยาวเท่ากัน ซึ่งรวมถึงสามเหลี่ยมด้านเท่าด้วย

คุณจะใช้สมบัติเหล่านี้เมื่อไร

สมบัติของสามเหลี่ยมหน้าจั่วพบได้ในโจทย์พิสูจน์เรขาคณิต เรขาคณิตวิเคราะห์ และโจทย์หาพื้นที่หรือความสูงที่ความสมมาตรช่วยประหยัดเวลา รูปแบบที่พบบ่อยคือสังเกตด้านที่ยาวเท่ากัน จับคู่มุมฐาน แล้วจึงลากเส้นตั้งฉากเมื่อคุณต้องการรูปที่จัดการได้ง่ายขึ้น

ลองทำโจทย์ที่คล้ายกัน

ลองทำด้วยตัวเองโดยใช้ความยาวด้าน $13$, $13$ และ $10$ ลากเส้นตั้งฉาก หาความสูง แล้วหาพื้นที่ต่อไป หากคุณอยากเรียนต่อในหัวข้อที่เกี่ยวข้อง ลองดูทฤษฎีพีทาโกรัสหรือพื้นที่ของสามเหลี่ยม แล้วเปรียบเทียบว่าแนวคิดเรื่องสามเหลี่ยมมุมฉากแบบเดียวกันปรากฏขึ้นอย่างไร