等腰三角形的性质

等腰三角形有两条边相等。它最关键的性质很简单：与这两条相等边相对的角相等，所以两个底角相等。若再从顶点向底边作高，原三角形会被分成两个全等的直角三角形，这会让很多几何题更容易处理。

等腰三角形有哪些性质

设三角形 $ABC$ 中，$AB = AC$。那么边 $BC$ 是底边，位于 $B$ 和 $C$ 的底角相等。

第二个很有用的结论依赖于一条特定的线段。如果你从 $A$ 向底边 $BC$ 作垂线，那么这条线段：

1. 是高，因为它与底边成 $90^\circ$。
2. 是底边上的中线，因为它把 $BC$ 分成两段相等的线段。
3. 平分顶角 $A$。

这些额外性质都来自对称性。它们并不适用于任意三角形中的每一条高。

为什么高这么有用

这条高会把一个等腰三角形变成两个完全对应的直角三角形。这意味着你可以使用直角三角形的方法，尤其是勾股定理，而不必一次处理整个三角形。

但这只在高是从两条相等边之间的顶点向底边作出时才成立。如果你画的是别的线段，就不能默认它同时具有上面三种作用。

例题：求高和面积

设一个等腰三角形的三边长分别是 $5$、$5$ 和 $6$。

两条相等的边是 $5$ 和 $5$，所以底边是 $6$。从顶点向底边作高。在等腰三角形中，这条高会把底边平分，所以每一半都是 $3$。

现在看其中一个直角三角形。设高为 $h$。则有：

$$h^2 + 3^2 = 5^2$$ $$h^2 + 9 = 25$$ $$h^2 = 16$$ $$h = 4$$

所以高是 $4$。再利用三角形面积公式：

$$A = \frac{1}{2}bh = \frac{1}{2}(6)(4) = 12$$

面积是 $12$ 平方单位。

一个常见的逆命题

反过来的结论也很重要。如果一个三角形中有两个角相等，那么与这两个角相对的边也相等，因此这个三角形是等腰三角形。

这个逆命题在证明题中经常出现。有时题目先给出角的信息，再要求你推出两条边必然相等。

等腰三角形中的常见错误

1. 误以为任意三角形中的任意一条高都会把对边平分。
2. 搞混了哪两个角相等。相等的是与相等边相对的角。
3. 没有先确认三角形是等腰三角形，就直接使用高的性质。
4. 忘记有些教材把等腰三角形定义为至少有两条边相等，这样就包含等边三角形。

什么时候会用到这些性质

等腰三角形的性质常见于几何证明、解析几何，以及利用对称性来简化计算的面积题或求高题。通常的思路是先找出相等的边，确定底角相等，再在需要更清晰结构时作高。

试一道类似的题

你可以自己试试边长为 $13$、$13$ 和 $10$ 的情况。先作高，求出高，再求面积。如果你想继续练习，可以接着学习勾股定理或三角形面积，看看同样的直角三角形思路是如何在那里出现的。