Hiperbol - Denklem, Asimptotlar ve Özellikler

Hiperbol, iki açık daldan oluşan bir eğridir. Analitik geometride onu tanımanın en hızlı yolu, standart denkleminde bir kareli terimin diğerinden çıkarıldığını görmektir.

Merkezi $(h, k)$ olan, eksenlere paralel bir hiperbol için yaygın iki standart form şunlardır:

$$\frac{(x - h)^2}{a^2} - \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1$$

ve

$$\frac{(y - k)^2}{a^2} - \frac{(x - h)^2}{b^2} = 1$$

İlki sağa ve sola açılır. İkincisi yukarı ve aşağı açılır.

Hızlı okuma kuralı şöyledir: merkez $(h, k)$'den gelir, pozitif terim açılma yönünü gösterir ve asimptotlar dalların hangi yönlere yaklaştığını belirtir.

Hiperbol nedir?

Geometrik olarak hiperbol, odaklar adı verilen iki sabit noktaya olan uzaklıklarının mutlak farkı sabit olan noktaların kümesi olarak tanımlanabilir.

Bu tanım, grafiğin neden tek bir kapalı eğri yerine iki dala sahip olduğunu açıklar. Ancak cebir ve ileri cebir öncesi düzeyindeki çoğu soruda denklemden yola çıkılır; çünkü bu yöntem grafiği çok daha hızlı okumanızı sağlar.

Hiperbol denklemi nasıl okunur?

Eğer denklem

$$\frac{(x - h)^2}{a^2} - \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1$$

şeklindeyse, eksenlere paralel bir hiperbol için şu bilgiler elde edilir:

• Merkez: $(h, k)$
• Açılma yönü: sağ-sol
• Köşeler: $(h \pm a, k)$
• Asimptotlar: $y - k = \pm \frac{b}{a}(x - h)$

Eğer denklem

$$\frac{(y - k)^2}{a^2} - \frac{(x - h)^2}{b^2} = 1$$

şeklindeyse:

• Merkez: $(h, k)$
• Açılma yönü: yukarı-aşağı
• Köşeler: $(h, k \pm a)$
• Asimptotlar: $y - k = \pm \frac{a}{b}(x - h)$

Aynı eksenlere paralel formlar için odaklar, merkeze köşelerden daha uzaktadır ve uzaklıklar

$$c^2 = a^2 + b^2$$

bağıntısını sağlar.

Bu formülleri yalnızca standart formdaki, eksenlere paralel hiperboler için kullanın. Denklemde ek terimler varsa ya da eğri döndürülmüşse, grafiği bu şekilde okumadan önce daha fazla işlem yapmanız gerekir.

Asimptotlar size ne söyler?

Asimptotlar, dallara yön veren doğrulardır. Rastgele ek özellikler değildir. Grafiğin uzaklarda hangi doğrultuya gittiğini gösterirler.

Merkeze yakın bölgede eğri, asimptotlardan uzaklaşarak bükülür. Merkezden uzaklaştıkça her dal bu doğrulara giderek daha çok yaklaşır. Bu yüzden asimptotlar, bir hiperbolü doğru biçimde çizmenin en hızlı yollarından biridir.

Çözümlü örnek: grafiği denklemden okuyun

Şu denklemi ele alalım:

$$\frac{(x - 2)^2}{16} - \frac{(y + 1)^2}{9} = 1$$

Bu, yatay standart formdadır; dolayısıyla hiperbol sağa ve sola açılır.

Merkez $(2, -1)$'dir; çünkü $(x - 2)$ ifadesi grafiği $2$ birim sağa, $(y + 1)$ ifadesi ise $1$ birim aşağı kaydırır.

Paydalardan,

$$a^2 = 16 \quad \Rightarrow \quad a = 4$$

ve

$$b^2 = 9 \quad \Rightarrow \quad b = 3$$

elde edilir.

Buna göre köşeler

$$(2 \pm 4, -1)$$

olur; yani

$$(6, -1) \text{ ve } (-2, -1)$$

noktalarıdır.

Asimptotların eğimi $\pm b/a = \pm 3/4$ olur ve bu doğrular merkezden geçer:

$$y + 1 = \pm \frac{3}{4}(x - 2)$$

Odakları da istiyorsanız, $c^2 = a^2 + b^2$ bağıntısını kullanın:

$$c^2 = 16 + 9 = 25 \quad \Rightarrow \quad c = 5$$

Buna göre odaklar

$$(2 \pm 5, -1)$$

yani $(7, -1)$ ve $(-3, -1)$ olur.

Böylece tam çizim için gereken her şey elde edilir: merkezi çizin, köşeleri işaretleyin, merkezden geçen asimptotları çizin ve ardından bu doğrulara yaklaşırken merkezden uzaklaşan iki dalı çizin.

Hiperbolde sık yapılan hatalar

1. Standart formda hiperbolde çıkarma olduğunu unutmak. Kareli terimler toplanıyorsa, bu bir hiperbol değil elipstir.
2. $a^2$ ile $b^2$'yi karıştırmak. Bu standart formlarda $a^2$, pozitif terime bağlıdır.
3. Yanlış asimptot eğimini kullanmak. Yatay bir hiperbol için eğimler $\pm b/a$'dır. Dikey bir hiperbol için ise $\pm a/b$'dir.
4. Merkezin işaretlerini yanlış okumak. $(x + 2)^2$ gibi bir terim, merkezin $x$ koordinatının $-2$ olduğu anlamına gelir.

Hiperbol nerelerde kullanılır?

Hiperbolü konik kesitlerde, analitik geometride ve koordinat temelli modellemede görürsünüz. Ayrıca iki sabit noktaya olan uzaklıkların farkının sabit olduğu durumlarda da karşınıza çıkar.

Çoğu öğrenci için pratik kullanım daha basittir: merkezi, açılma yönünü, köşeleri ve asimptotları belirleyebiliyorsanız standart formların grafiğini hızlıca çizebilir ve sınavlarda yapılan yaygın hatalardan kaçınabilirsiniz.

Benzer bir soru deneyin

Şu grafiği çizmeyi deneyin:

$$\frac{(y - 3)^2}{25} - \frac{(x + 1)^2}{4} = 1$$

Önce merkezi bulun ve dalların yukarı-aşağı mı yoksa sağa-sola mı açıldığını belirleyin. Sonra köşeleri ve asimptotları yazın. Bir adım daha ileri gitmek isterseniz başka bir konik kesiti inceleyin ve hiperbolün elipsten nasıl farklı olduğunu karşılaştırın.