Equação do 2º Grau: Fórmula de Bhaskara, Delta e Exemplo Resolvido

Equação do 2º grau é toda equação que pode ser escrita na forma $ax^2 + bx + c = 0$, com $a \ne 0$. Para resolver com a fórmula de Bhaskara, você identifica $a$, $b$ e $c$, calcula o delta e então encontra as raízes.

As raízes são os valores de $x$ que fazem a igualdade valer. A fórmula é:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$$

com

$$\Delta = b^2 - 4ac$$

Se $\Delta > 0$, existem duas raízes reais distintas. Se $\Delta = 0$, existe uma raiz real dupla. Se $\Delta < 0$, não existem raízes reais.

O que faz uma equação ser do 2º grau

Na expressão $ax^2 + bx + c = 0$, o termo $ax^2$ é o termo quadrático, $bx$ é o termo linear e $c$ é o termo constante.

A condição $a \ne 0$ é obrigatória. Se $a = 0$, o termo $x^2$ desaparece e a equação deixa de ser quadrática.

Isso importa porque a fórmula de Bhaskara só vale para equações quadráticas já escritas nessa forma padrão. Se os termos estiverem espalhados, reorganize antes.

O que o delta diz antes de resolver

O delta é o número que fica dentro da raiz quadrada na fórmula. Por isso, ele diz de antemão se a conta vai gerar duas raízes reais, uma raiz real dupla ou nenhuma raiz real.

Essa leitura funciona porque, nos números reais, $\sqrt{\Delta}$ só existe quando $\Delta \ge 0$. Então o sinal de $\Delta$ não é um detalhe: ele determina o tipo de resposta que você pode esperar.

Como resolver pela fórmula de Bhaskara

1. Escreva a equação na forma $ax^2 + bx + c = 0$.
2. Identifique $a$, $b$ e $c$, com atenção aos sinais.
3. Calcule $\Delta = b^2 - 4ac$.
4. Substitua em $x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$.
5. Simplifique as raízes, se possível.

Exemplo resolvido passo a passo

Resolva

$$x^2 - 5x + 6 = 0$$

Aqui,

$$a = 1,\quad b = -5,\quad c = 6$$

Primeiro, calcule o delta:

$$\Delta = (-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1$$

Como $\Delta > 0$, esperamos duas raízes reais distintas.

Agora aplique a fórmula:

$$x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{5 \pm 1}{2}$$

Separando os dois casos:

$$x_1 = \frac{5 + 1}{2} = 3$$ $$x_2 = \frac{5 - 1}{2} = 2$$

Logo, as raízes são $x = 2$ e $x = 3$.

Você pode conferir substituindo os valores na equação original: $2^2 - 5(2) + 6 = 0$ e $3^2 - 5(3) + 6 = 0$.

Erros comuns ao resolver equação do 2º grau

• Trocar o sinal de $b$. Se $b = -5$, então $-b = 5$.
• Esquecer que o quadrado inclui o sinal. Se $b = -5$, então $b^2 = (-5)^2 = 25$.
• Dividir só parte do numerador por $2a$. Em $x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$, o numerador inteiro fica sobre $2a$.
• Aplicar Bhaskara antes de reorganizar a equação. Primeiro deixe tudo na forma $ax^2 + bx + c = 0$.

Onde a equação do 2º grau é usada

Esse tipo de equação aparece quando a relação entre as grandezas é quadrática. Isso acontece em problemas de fatoração, no estudo do gráfico de parábolas, em certas questões de área e em modelos simples de movimento.

Mesmo quando dá para resolver por fatoração, Bhaskara continua útil porque funciona de modo geral para qualquer equação do 2º grau escrita corretamente.

Exercícios rápidos com gabarito

1. Resolva

$$x^2 + 7x + 12 = 0$$

2. Resolva

$$2x^2 - 8x + 6 = 0$$

3. Sem calcular as raízes, diga quantas raízes reais a equação tem

$$x^2 + 4x + 8 = 0$$

Gabarito

No exercício 1, as raízes são $x = -3$ e $x = -4$.

No exercício 2, as raízes são $x = 1$ e $x = 3$.

No exercício 3, temos $\Delta = 4^2 - 4(1)(8) = 16 - 32 = -16$. Como $\Delta < 0$, a equação não tem raízes reais.

Próximo passo

Tente resolver $x^2 - 9x + 20 = 0$ sozinho. Depois compare com a fatoração da mesma equação e veja como os dois métodos chegam às mesmas raízes.