慣性モーメント — 公式と例題

慣性モーメントは、物体が選んだ軸まわりの回転の変化にどれだけ強く抵抗するかを表す量です。回転の力学では、直線運動における質量と似た役割を果たします。

公式を知りたいなら、重要な考え方はシンプルです。質量の各部分は軸からの距離に応じて寄与し、その距離は二乗されます。だからこそ、軸から遠い質量は特に大きく効いてきます。

回転軸は省略できません。同じ物体でも、軸が違えば慣性モーメントは異なります。

慣性モーメントは何に依存するか

質点の集まりでは、

$$I = \sum m_i r_i^2$$

となります。ここで、$m_i$ は質量の1つの部分、$r_i$ はその部分の軸からの距離です。$r^2$ の項が、この概念の振る舞いを決める大きな理由です。同じ質量を軸から2倍遠くに動かすと、その寄与は4倍になります。

連続的に分布した物体では、同じ考え方が

$$I = \int r^2\,dm$$

となります。すべての問題でこの積分を使う必要はありませんが、標準的な図形の公式がどこから来るのかを説明してくれます。慣性モーメントのSI単位は $\mathrm{kg \cdot m^2}$ です。

慣性モーメントが角加速度に与える影響

剛体が固定軸まわりに回転するとき、回転の力学ではしばしば

$$\tau_{net} = I\alpha$$

を使います。ここで、$\tau_{net}$ は合トルク、$\alpha$ は角加速度です。同じトルクを加えるなら、$I$ が大きいほど角加速度は小さくなります。

だからこそ、フィギュアスケーターは腕を内側に引くとより速く回転します。全体の質量はほとんど変わりませんが、より多くの質量が軸に近づくため、慣性モーメントが小さくなるからです。

よく使う慣性モーメントの公式

これらの公式は、示された形状と軸に対してのみ標準的に成り立ちます。

• 軸から距離 $r$ にある質点: $I = mr^2$
• 薄い円環またはリングの中心まわり: $I = MR^2$
• 一様な円板または一様な円柱の中心まわり: $I = \frac{1}{2}MR^2$
• 一様な球の中心まわり: $I = \frac{2}{5}MR^2$
• 長さ $L$ の細い棒の中心まわり（軸は棒に垂直）: $I = \frac{1}{12}ML^2$
• 長さ $L$ の細い棒の端まわり（軸は棒に垂直）: $I = \frac{1}{3}ML^2$

軸が変われば、公式も変わることがあります。これは非常によくあるミスの原因です。

例題: 同じ質量を内側へ動かす

質量がそれぞれ $2\ \mathrm{kg}$ の小さな物体2つが、軽い棒の両端についていて、回転軸は中心にあるとします。

場合1: それぞれの質量は軸から $0.50\ \mathrm{m}$ の位置にあります。

$$I = \sum m_i r_i^2 = 2(2)(0.50)^2 = 1.0\ \mathrm{kg \cdot m^2}$$

場合2: それぞれの質量を内側へ動かし、軸から $0.25\ \mathrm{m}$ の位置にしたとします。

$$I = 2(2)(0.25)^2 = 0.25\ \mathrm{kg \cdot m^2}$$

全質量は同じままですが、距離が半分になったので、慣性モーメントは4分の1になりました。

ここで、どちらの場合にも同じ合トルク $2.0\ \mathrm{N \cdot m}$ がはたらくとします。すると

$$\alpha = \frac{\tau_{net}}{I}$$

なので、角加速度は

$$\alpha_1 = \frac{2.0}{1.0} = 2.0\ \mathrm{rad/s^2}$$ $$\alpha_2 = \frac{2.0}{0.25} = 8.0\ \mathrm{rad/s^2}$$

となります。全質量は変わっていませんが、角加速度は4倍になりました。これが中心となる直感です。質量を内側へ動かすと、回転の状態を変えやすくなります。

慣性モーメントでよくあるミス

軸を指定し忘れる

慣性モーメントは必ずある軸に対して定義されます。円板を中心まわりで考える場合と、同じ円板を接線方向の軸まわりで考える場合では、値は同じではありません。

形状に合わない公式を使う

$I = \frac{1}{2}MR^2$ は、一様な円板または一様な円柱の中心軸まわりの公式であり、円環には使えません。同じ $M$ と $R$ をもつ円環なら、$I = MR^2$ です。

距離が二乗されることを見落とす

距離が重要だとは気づいていても、その効き方の強さを過小評価しがちです。公式には $r^2$ が入るので、半径の小さな変化でも大きな影響を与えることがあります。

質量だけの問題だと考える

質量が大きいほど慣性モーメントも大きくなることは多いですが、分布のしかたも重要です。より軽い物体でも、質量の多くが軸から遠ければ、$I$ がより大きくなることがあります。

慣性モーメントはどこで使われるか

慣性モーメントは、回転が重要になるあらゆる場面で現れます。

1. 車輪、はずみ車、モーター
2. 回転する棒、円板、滑車
3. フィギュアスケートや飛び込み
4. 力学の問題でのトルクと角加速度のつり合い
5. 回転応答が重要な工学設計

物理の授業では、通常、トルク、角加速度、角運動量、回転の運動エネルギーとあわせて登場します。

類題に挑戦してみよう

例題で使った $2\ \mathrm{kg}$ の質量を、それぞれ軸から $0.40\ \mathrm{m}$ の位置に動かしてみましょう。新しい $I$ を計算し、そのあと同じトルクのもとで角加速度がどう変わるかを予想してください。この1つの変化だけでも、$r^2$ 依存がしっかり身につきます。