Mômen quán tính — Công thức và ví dụ

Mômen quán tính cho biết một vật cản trở sự thay đổi chuyển động quay quanh một trục đã chọn mạnh đến mức nào. Trong động lực học quay, nó đóng vai trò tương tự như khối lượng trong chuyển động thẳng.

Nếu bạn đang tìm công thức, ý chính rất đơn giản: mỗi phần khối lượng đóng góp theo khoảng cách của nó đến trục, và khoảng cách đó được bình phương. Đó là lý do vì sao khối lượng ở xa trục lại quan trọng đến vậy.

Trục quay không phải là thứ có thể bỏ qua. Cùng một vật có thể có các mômen quán tính khác nhau đối với các trục khác nhau.

Mômen quán tính phụ thuộc vào những gì

Với một hệ các chất điểm,

$$I = \sum m_i r_i^2$$

Ở đây, $m_i$ là một phần khối lượng và $r_i$ là khoảng cách của nó đến trục. Hạng tử $r^2$ là lý do chính khiến khái niệm này có cách ứng xử như vậy. Nếu bạn đưa cùng một khối lượng ra xa trục gấp đôi, phần đóng góp của nó sẽ lớn gấp bốn lần.

Với một vật liên tục, ý tưởng đó trở thành

$$I = \int r^2\,dm$$

Bạn không cần dùng tích phân đó cho mọi bài toán, nhưng nó giải thích các công thức chuẩn theo hình dạng đến từ đâu. Đơn vị SI của mômen quán tính là $\mathrm{kg \cdot m^2}$.

Mômen quán tính ảnh hưởng đến gia tốc góc như thế nào

Nếu một vật rắn quay quanh một trục cố định, động lực học quay thường dùng

$$\tau_{net} = I\alpha$$

trong đó $\tau_{net}$ là tổng mômen lực và $\alpha$ là gia tốc góc. Với cùng một mômen lực tác dụng, $I$ càng lớn thì gia tốc góc càng nhỏ.

Đó là lý do một vận động viên trượt băng nghệ thuật quay nhanh hơn khi thu tay vào. Tổng khối lượng gần như không đổi, nhưng nhiều khối lượng hơn dịch lại gần trục, nên mômen quán tính nhỏ đi.

Các công thức mômen quán tính thường gặp

Các công thức này chỉ là công thức chuẩn cho đúng hình dạng và trục quay đã nêu.

• Chất điểm cách trục một khoảng $r$: $I = mr^2$
• Vành mỏng hoặc vòng tròn mỏng quanh tâm: $I = MR^2$
• Đĩa đặc hoặc trụ đặc quanh trục qua tâm: $I = \frac{1}{2}MR^2$
• Cầu đặc quanh tâm: $I = \frac{2}{5}MR^2$
• Thanh mỏng dài $L$ quay quanh tâm, trục vuông góc với thanh: $I = \frac{1}{12}ML^2$
• Thanh mỏng dài $L$ quay quanh một đầu, trục vuông góc với thanh: $I = \frac{1}{3}ML^2$

Nếu trục thay đổi, công thức cũng có thể thay đổi. Đây là một trong những nguồn sai sót phổ biến nhất.

Ví dụ có lời giải: đưa cùng một khối lượng vào gần trục hơn

Giả sử có hai vật nhỏ, mỗi vật có khối lượng $2\ \mathrm{kg}$, gắn vào một thanh nhẹ, với trục quay ở giữa.

Trường hợp 1: mỗi vật cách trục $0.50\ \mathrm{m}$.

$$I = \sum m_i r_i^2 = 2(2)(0.50)^2 = 1.0\ \mathrm{kg \cdot m^2}$$

Trường hợp 2: mỗi vật được đưa vào gần trục hơn, chỉ còn cách trục $0.25\ \mathrm{m}$.

$$I = 2(2)(0.25)^2 = 0.25\ \mathrm{kg \cdot m^2}$$

Tổng khối lượng vẫn giữ nguyên, nhưng mômen quán tính giảm đi bốn lần vì khoảng cách bị giảm còn một nửa.

Bây giờ giả sử cùng một tổng mômen lực $2.0\ \mathrm{N \cdot m}$ tác dụng trong cả hai trường hợp. Khi đó

$$\alpha = \frac{\tau_{net}}{I}$$

nên các gia tốc góc là

$$\alpha_1 = \frac{2.0}{1.0} = 2.0\ \mathrm{rad/s^2}$$ $$\alpha_2 = \frac{2.0}{0.25} = 8.0\ \mathrm{rad/s^2}$$

Tổng khối lượng không đổi, nhưng gia tốc góc tăng lên gấp bốn lần. Đó là trực giác cốt lõi: đưa khối lượng vào gần trục hơn sẽ làm cho việc thay đổi chuyển động quay dễ hơn.

Những lỗi thường gặp với mômen quán tính

Quên chỉ rõ trục quay

Mômen quán tính luôn được tính đối với một trục. Một đĩa quay quanh tâm và chính đĩa đó quay quanh một đường tiếp tuyến sẽ không có cùng giá trị.

Dùng đúng công thức cho sai hình dạng

$I = \frac{1}{2}MR^2$ là công thức cho đĩa đặc hoặc trụ đặc quanh trục qua tâm, không phải cho vành mỏng. Một vành mỏng có cùng $M$ và $R$ sẽ có $I = MR^2$.

Bỏ qua khoảng cách bình phương

Học sinh thường nhận ra rằng khoảng cách có ảnh hưởng, nhưng lại đánh giá thấp mức độ ảnh hưởng đó. Vì công thức chứa $r^2$, những thay đổi nhỏ của bán kính cũng có thể tạo ra tác động lớn.

Xem đây chỉ là bài toán về khối lượng

Khối lượng lớn hơn thường làm mômen quán tính tăng, nhưng sự phân bố khối lượng cũng rất quan trọng. Một vật nhẹ hơn vẫn có thể có $I$ lớn hơn nếu phần lớn khối lượng của nó nằm xa trục.

Mômen quán tính được dùng ở đâu

Mômen quán tính xuất hiện bất cứ khi nào chuyển động quay là yếu tố quan trọng:

1. bánh xe, bánh đà và động cơ
2. các thanh quay, đĩa quay và ròng rọc
3. trượt băng nghệ thuật và nhảy cầu
4. cân bằng mômen lực và gia tốc góc trong các bài toán cơ học
5. các thiết kế kỹ thuật nơi đáp ứng quay là yếu tố quan trọng

Trong các lớp vật lý, nó thường xuất hiện cùng với mômen lực, gia tốc góc, mômen động lượng và động năng quay.

Thử một bài tương tự

Hãy lấy ví dụ đã giải và chuyển mỗi khối lượng $2\ \mathrm{kg}$ đến vị trí cách trục $0.40\ \mathrm{m}$ thay vì vậy. Tính $I$ mới, rồi dự đoán gia tốc góc thay đổi như thế nào dưới cùng một mômen lực. Chỉ một biến thể đó cũng đủ để giúp bạn nhớ sự phụ thuộc theo $r^2$.